Somme de deux images ?

J'ai ouvert il y a quelques temps le fil suivant : Somme de deux carrés ? (sur le forum Algèbre).

J'ouvre celui-ci afin d'élargir ma question.
Définition a écrit:
Soit $f$ une application continue de $]0;+\infty[$ dans $]0;+\infty[$. Un ensemble fini et non vide $E\subset\,]0;+\infty[$ est dit $f$-additif lorsque pour tout $x\in E$, il existe deux éléments distincts $y$ et $z$ dans $E\backslash\{x\}$ tels que $x=f(y)+f(z)$.

Dans le fil précédent, j'ai trouvé un ensemble $(x\mapsto x^2)$-additif de cardinal $7$.
J'ai également établi*** les résultats suivants :
- Si $\alpha\in[-1;1]$, il n'existe aucun ensemble $(x\mapsto x^{\alpha})$-additif.
- Il existe un ensemble $(x\mapsto x^3)$-additif de cardinal $6$.
- Il existe un ensemble $(x\mapsto x^4)$-additif de cardinal $5$.
- Il existe un ensemble $\left(x\mapsto\frac{1}{x^2}\right)$-additif de cardinal $6$.

Voici les questions que je me pose :
- Si $\alpha\in\mathbb{R}$ est tel que $|\alpha|>1$, existe-t-il toujours un ensemble $(x\mapsto x^{\alpha})$-additif ?
- Existe-t-il une condition formulable simplement, portant sur l'application continue $f$, qui garantit l'existence d'un ensemble $f$-additif ?
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