Evaristette, juin 2018

Norbert Verdier

Ami(e)s d'Evariste bonsoir,

Ce vendredi 08 juin 2018 a été lancée à l’Ecole normale supérieure, l’Association des amis d’Evariste Galois http://www.evaristegalois.org/ chaque mois un ami de Galois vous proposera une énigme mathématique, philosophique ou historique liée à Galois ou, directement ou indirectement, à son œuvre. Voici la première

La puissance de $x$ qui a le plus grand coefficient dans le développement de $(1+ \frac x 2)^{10}$ est

(a) $x^2$ (b) $x^3$ (c) $x^5$ (d) $x^{10}$

Proposez une généralisation.

Bonne soirée avec, ou sans; Evariste.

Un ami de Galois

http://www.evaristegalois.org/

jacquot

Bonjour,
$(1+\frac x2)^{10}=1+5x+\frac {45}4 x^2+15x^3+\frac {210}{16}x^4+\dots $
Le plus grand coefficient est celui de $x^3$.

Soient $C_{n,k} $ et $K_{n,k} $ les coefficients de $x^k $ respectivement dans les développements de $(1+x)^n $ et de $(1+\frac x 2)^n $.
Les $C_{n,k} $ sont bien connus et on a :
$C_n^{k+1}=\dfrac {n-k}{k+1}C_n^k $
d'où : $K_{n,k+1}=\dfrac {n-k}{2 (k+1)}K_{n,k} $

$K_{n,k+1}$ sera donc plus grand que $K_{n,k}$ tant que $\dfrac {n-k}{2 (k+1)}\geqslant 1$, c'est à dire tant que $k\leqslant \dfrac {n-2}3$
Le plus grand coefficient de $x^p $ sera alors celui de $x^{k+1} $, c'est à dire que :
$$\boxed {p =\lfloor\dfrac {n+1}3\rfloor}$$...
et parfois aussi celui de la puissance précédente, quand $n+1$ est un multiple de $3$.

Cidrolin

Bravo Jacquot,

On peut aussi généraliser avec : $(1+\dfrac x a)^{10}$ ou $(1+\dfrac x a)^n$.

En fait, il faudrait un problème le dernier mercredi de chaque semaine.

Norbert Verdier

Merci à Jacquot et à Cidrolin (une Evaristette par semaine est difficile à tenir sur la durée mais je compte sur vous pour nous en proposer;). Sinon un de mes étudiants d'Orsay travaille en ce moment à une forme de généralisation : que se passe-t-il si on travaille pour les coefficients non pas dans R mais dans un anneau ordonné( cf. Y a-t-il de nouveau du côté d'Orsay? Bonne journée. Norbert.