courbes et connexité

Sasha1

Bonsoir. J'aimerai résoudre ce problème dans le cadre de ma recherche en ségmentation de l'image.

Soit $\Omega$ un rectangle de $\R^2$. Soit $C$ un ensemble fini de courbes $C^1$ de $\Omega$.

Est-ce que $\Omega-C$ a un nombre fini de composantes connexes? Ou alors existe-t-il des courbes tellement méchantes (bien que $C^1$) telles que $\Omega$ est segmenté en un nombre infini de sous-ensembles?

Merci beaucoup

Bonne soirée!

Hadrien

Bonsoir,
tes courbes sont de longueur fini ou pas ?

Quoique je ne sais pas si cela changerait grand chose.

H.

Sasha1

Bonsoir Hadrien, et merci pour ta rapidité!

Oui les courbes sont de longueur finie j'ai oublié de le précisé. Mais en effet ca ne doit pas changer le problème

Sasha1

J'aurai tendence à dire que le nbre de composante connexe est finie. Les seuls contre exemples que j'imagine sont des courbes se croisant un nombre infini de fois, mais comme le rectangle est compact, tout ca doit s'accumuler quelque part dans un coin et dans ce cas j'ai du mal à imaginer que les courbes puissent etre $C^1$

Mais bon ca n'est pas une démonstration!

jérome40

ne pourrait-on pas travailler par récurrence.

On regarde se qui se passe pour une courbe puis en se plaçant à chaque étape de la récurrence dans l'une des composantes connexes trouvées à l'étape précédente et en restreignant la $(n+1)$-ième courbe à cette composante connexe, on prouve l'hypothèse de récurrence.

C'est une idéé, je ne sais pas si ca marche.

Merci de me tenir au courant.

P.S : Quelle est ta définition de courbe??
Car si la courbe est juste le scéma qui la représente, elle est toujours de longueur finie puisqu'elle est contenu dans un rectangle (qui est borné)...

Sasha1

On pourrait se limiter a des courbes parametré $C^1$, mais le problème peut etre étendu a des sous-variétés diférentiables de dimension 1 je pense.

La géométrie différentielle n'est pas du tout mon domaine, et ce genre de problème me dépasse un peu...

Attioui Abdelbaki

A jerome4

Désolé une courbe bornée n'est pas en général de longueur finie. Un exemple : Le flacon de van Khoch est un fractal de longueur infinie est inclus dns le carrée [0,1]²

A+

Hadrien

Déjà il suffit de considérer le cas d'une seule courbe mais sur un borné quelconque.
Ensuite on doit pouvoir se débrouiller par récurrence. Car quand tu rajoutes une courbe, tu considères juste chaque composante connexe formée précédemment (en nb fini par hypothèse de récurrence). Dans chacune de celles-ci (qui n'est plus un rectangle mais qui est bornée )tu rajoutes un nb fini de composantes connexes donc au total on a bien un nb fini de composantes dans le complémentaire.

Je vais méditer sur ce que je viens de raconter (et la suite) et je reviens.

Si vous avez des remarques...
H.

Totolezero

A mon avis il est infini... Tu prends deux courbes qui se coupent et recoupent sur elles mêmes une infinité de fois.

jérome40

à Attioui Abdelbaki, exact, autant pour moi...

A Hadrien, ta démonstration par récurrence, c'est exactement ce que j'ai dit un peu plus haut...

Alors quelqu'un a tenté de l'écrire???

Hadrien

jérome4, désolé pour le plagiat, je n'avais pas vu.

H.

jérome40

attends, au fait, pour le flocon

c'est en fait une suite de flocons dont le périmètre tend vers l'infini construite par récurrence

Mais la limite de cette suite de courbes, est-elle une courbe?? Je n'en suis pas certain (je crois pas que ce sois vraiment $\mathcal {C}^1$).

Avez-vous une réponse??

Et dans ce cas-là, je demande si une courbe borné peut être de longueur inifinie ?? En fait, je pense que non si on prend un truc qui ne se redresse pas genre une partie de la courbe $x \mapsto \cos \frac{1}{x}$...
Qu'en pensez-vous??

Sasha1

Jerome et Haldrien,

Je ne suis pas sur qu'une demo par recurence puisse marcher.

Déjà en faisant un dessin, on arrive facilement a faire une courbe de longueur finie qui fait apparaitre une autant de composantes connexes que l'on veut : il suffit de faire des boucles une infinité de fois de plus en plus petites de telle sorte que la longueur reste finie. Mais comme on est dans un compact, ces boucles s'accumulent dans le rectangle et c'est ca qui doit etre en contradiction avec le fait qu'elles doivent etre $C^1$.

Mais bon déjà il faut se mettre d'accord sur la notion de courbe $C^1$. Limitons nous au cas d'images de [0,1] par une fonction $C^1$ a valeur dans le rectangle $\Omega$, ca sera déjà pas mal

VK

Sasha, il est possible d'avoir une courbe $C^1$ avec ce genre de comportement. Le point à problème sera un point d'annulation de la dérivée. Exemple~: prends $t \mapsto (-t^2,0)$ sur $[-1, 0]$ et $t \mapsto (t^2, t^2 sin(1/t))$ pour $t \in ]0,1]$.

VK

VK

Oups... prendre $t^3 sin(1/t)$ au lieu de $t^2 sin(1/t)$.

jérome40

Si je superpose deux courbes non redressables dans le genre "perpendiculaires" l'une par rapport à l'autre, n'ai-je pas un bon contre-exemple au problème initial??

Alain Debreil

$t \mapsto \big(t^2, t^3 sin(\frac{1}{t})\big)$ pour $t \in ]0,1]$

Sasha1

Oui $t^3$ c'est mieux je viens de finir le calcul mais tu as posté avant moi

Mais en faisant le dessin je n'arrive pas a obtenir des boucles, en fait la courbe de se recoupe jamais (a moins que je ne sache plus dessiner une courbe parametré! mon domaine c'est les statistiques!). Mais bon il y a certainement moyen de trouver un contre-exemple de ce type.

Jérome4 qu'appelles-tu courbe non redressable?

Sasha1

<!--latex-->Ca marche en effet, mais il faut mettre -t² dans la seconde partie comme abscisse, afin que la courbe revienne sur la gauche.
<BR>
<BR>Ca a le merite d'etre clair comme exemple... lol<BR>

VK

Distraction quand tu nous tiens... remplacer $-t^2$ par $t^2$.

jérome40

Une courbe non redressable est une courbe qu'on ne peut pas redresser localement en une droite, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de voisinage d'un point de la courbe dans lequel la courbe ressemble (est difféomorphe je crois mais je ne sui plus sûr) à une droite.

Par exemple, la courbe de $x \mapsto x^2$ est redressable.

Une courbe non redressable peut être par exemple visualisé par serpentin infiniment ecrasés sur lui-même

Pour le dire encore autrement, quand on zoome à l'infini sur un point de la courbe, autour de ce point, la courbe ne ressemble jamais à un segment de droite.

mais c'est bien plus clair avec un schéma

P.S : C'est de la géométrie différentielle que je tire ca et je suis pas très calé

jérome40

j'avais pas vu ton schéma
ta courbe n'est pas redressable au voisinage de 0 (à gauche c'est bien 0?)

Alain Debreil

$t \mapsto (t^2,0)$

VK

L'exemple presque trivial ci-dessus suggère de faire l'hypothèse: $f$ est une courbe $C^1$ régulière (ie $f'(t)$ jamais nul). Mais même dans ce cas, c'est faux. Il suffit de prendre deux courbes régulières qui se comportent comme le graphe de $t^2 \sin(1/t)$ au voisinage de $0$ et qu'on superpose presque, de manière appropriée. Ca peut faire un joli bordel.

Bref, sans une hypothèse sur la finitude du nombre de points d'intersection, c'est mal parti.

VK

[PS : Merci Alain !]

jérome40

C'est exactement ce que j'essayais d'exprimer un peu plus haut... C cool!

corentin0

Est ce que $x^2 sin(\frac{1}{x})$ est tout de même de longueur finie? (c'est un détail, je demande ça par pure curiosité)

jérome40

non.

Sasha1

Rebonjour,

Et bien je me leve ce matin et que vois-je? 9 réponses à mon sujet Merci de vous interesser à mon problème. L'imagerie médicale va faire un grand pas en avant grace a vous

Jérome je ne comprends pas pourquoi tu dis que le graphe de $t^2 \sin (1/t)$ est de longueur infinie : on peut la prolonger en une fonction $C^1$ sur [0,1] et calculer sa longueur comme celle d'une courbe paramétré classique non?

$l(C)=\int_0^1||c'(t)|| dt

Sasha1

<!--latex-->Si vous avez des papiers sur ce sujet, je suis preneur!
<BR>
<BR>bonne journée!<BR>

sunset

le pb, c'est que on peut très bien prolonger de façon C1 sans que la longueur de la courbe obtenue soit finie ...
par exemple imagine un faisceaux de cercles: tu prends un cercle quelconque, un point A sur ce cercle, et les images de ce cercle par les homothéties de centre A et de rayon 1/n, n>=1. On peut parfaitement faire de cette courbe l'image d'une fonction C1 de [0,1] dans ton rectangle, et pourtant la somme des périmètres des cercles diverge (série harmonique)

si maintenant tu prends les homothéties de rapport 1/n², la longueur est bien finie, et tu obtients bien un nombre infini de composantes connexes ...

voili voilou ... j'espère que je n'ai pas répondu complètement à côté

sunset

Sasha1

Je comprend bien ton exemple, mais ds ce cas es-tu sur que cela peut-etre l'image de [0,1] par une fct $C^1$?

Pour moi la longueur d'une courbe paramétré $C^1$ est :

$\int_{[0,1]}||f'(t)||dt$, où $f:[0,1]\longrightarrow \R^2$ est la fonction $C^1$ qui définit la courbe. Comme $f'$ est continue, la longueur est finie.

Ou alors c'est moi qui dit n'importe quoi

jérome40

La courbe $t \mapsto t^2 \sin(\frac{1}{t^2})$ n'est pas définie en zéro
donc lors du calcul de l'intégrale, on calcule en fait une limite en 0 et à mon avis, on tombe sur l'infini.

Pourquoi je dis qu'elle est de longueur infinie, imagine que la courbe est une corde accrochée au point 0, que tu en attrapes un bout et que tu tires
dessus. La courbe étant vers 0 repliée sur elle-même à l'infini, tu n'arriveras jamais au bout de cette corde en tirant dessus...

Ai-je été clair???

VK

Voyons Jérôme, cette courbe est définie en 0 (mais pas C^1). Il est clair que f : [0,1] -> R^2 de classe C^1 définit une courbe de longueur finie, ainsi que le dit Sasha. Ton exemple avec des cercles ne peut pas être paramétré par [0,1] (par une fonction C^1).

VK

Sasha1

Oui elle n'est pas $C^1$ en 0, mais si on remplace $t^2$ par $t^3$ on peut la prolonger en une fct $C^1$ sur le segment, et j'ai mon contre exemple.

affaire classée merci a tous

Guillaume8

Elle n'est toujours pas $C^1$ avec $t^3$ a la place de $t^2$. Par contre, elle le devient avec $t^4$. Dans ce cas, la courbe est de longueur finie.