Majoration des coefficients d'un polynôme

Bonjour à tous
Je sollicite l'aide des membres du forum pour un exercice que je n'arrive pas à résoudre.

On considère un polynôme de degré $n$ que l'on note $P=\sum_{k=0}^{n} a_{k}X^{k}$.
On note $M$ le sup de $P$ sur le cercle unité.
Il semblerait alors que tous les $|a_{k}|$ soient majorés par $M$.

Je précise qu'il y a une indication (que j'arrive à démontrer mais pas à utiliser) : en notant $\omega_{k}=e^{i\frac{2k\pi}{n+1}}$, on a, pour tout $j \in [0,n]$ : $$
\left| \sum_{k=0}^{n} \omega_{k}^{-j} P(\omega_{k}) \right| \leq (n+1)M
$$ Merci par avance à ceux qui pourront m'aider.
Bonne journée,
$\alpha$-Nico

Réponses

  • Il suffit de développer ta somme de gauche, qui donne $(n+1)a_j$ ;-)
  • Autre possibilité :

    $\int_0^{2\pi} P(e^{i\theta})e^{-ik\theta}d\theta = 2\pi a_k$
  • On voit d'ailleurs deux manières distinctes, l'une discrète, et l'autre continue, permettant "d'extraire" les coefficients d'un polynôme, il y a de l'analyse harmonique sous-jacente :-)
  • Bonsoir
    Je me permets de relancer ce sujet, ayant une question dans la continuité de celle de l'auteur...
    Je bloque sur un exercice des oraux ENS PC issu de la RMS, dont voici l'énoncé.

    Soit $P=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_{k}X^{k}$, on note $M$ le $\sup$ de $P$ en module sur le cercle unité.
    (a) Soit $k \in \mathbb Z$. Calculer $\displaystyle \int_0^{2\pi} e^{-ikt}P(e^{it}) dt$.
    (b) Soit $j \in \mathbb N,\ 0 \leq j \leq n$. Montrer que $M \geq |a_{j}|$.
    (c) Montrer que $M \geq |a_{0}| + |a_{n}|$.
    (d) Soit $(i,j) \in \mathbb N^2$ avec $0 \leq i < j \leq n$. Montrer que $M \geq |a_{i}| + |a_{j}|$.

    Pas de problème pour les deux premières questions.
    En revanche je n'arrive pas à résoudre la question (c). Je n'ai pas l'impression que les deux questions précédentes servent, il faut s'y prendre autrement, mais comment ?
    Merci d'avance de votre aide (un petit indice suffirait, si c'est possible !)
  • Question interessante, on a $$|a_0|+|a_n| \leq \frac{M}{2\pi} \int_0^{2\pi} |1+e^{-in\theta}|d\theta $$
    J'arrive à voir que $ \int_0^{2\pi} |1+e^{-in\theta}|d\theta = \int_0^{2\pi} |2\cos(\frac n2 \theta)|d\theta =\frac 4n\int_0^{n\pi} |\cos( \theta)|d\theta $ est majoré par 8 mais je n'arrive pas à le majorer par $2\pi$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Soit $\lambda \in \mathbb{U}.$ On remarque $$\Big\vert \sum_{k=0}^{n}P(\lambda \omega_{k}) \Big\vert =(n+1)\vert a_{0} +\lambda^{n}a_{n} \vert.$$ Le résultat s'en déduit en optimisant en $\lambda$ (en l'argument).
    Edit : J'ai corrigé la formule... Merci! ^^
  • @BobbyJoe : je n'obtiens pas la même expression que vous pour la somme, voici mes calculs :

    $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\omega_{k}P(\lambda \omega_{k}) = \sum_{k=0}^{n}\omega_{k} \sum_{l=0}^{n}a_l (\lambda \omega_{k})^l = \sum_{k=0}^{n} \sum_{l=0}^{n}a_l \lambda^l \omega_{k}^{l+1} = \sum_{l=0}^{n}a_l \lambda^l \sum_{k=0}^{n}\omega_{k}^{l+1}$
    Pour $l$ entier entre $0$ et $n-1$, $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\omega_{k}^{l+1} = 0$ et pour $l=n$, cette somme vaut $n+1$.
    Finalement, la somme de départ vaudrait donc $(n+1)a_n \lambda^n$...
  • @BobbyJoe
    Je ne trouve pas $\Big\vert \sum_{k=0}^{n}P(\lambda \omega_{k}) \Big\vert =(n+1)\vert a_{0} +\lambda^{n}a_{n} \vert.$ mais seukement $=(n+1)\vert a_{0} \vert$
    Je trouve cette question difficile
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Certes... mais pour moi (je n'avais pas lu les notations employées dans l'énoncé) $\omega_{k}=\omega^{k}$
    où $\omega$ est une racine primitive $n$-ième de l'unité (avec $n\geq 1$).
    On a alors effectivement (avec mes notations) pour tout $\lambda\in \mathbb{U},$ $$\Big\vert \sum_{k=0}^{n-1}P(\lambda \omega^{k}) \Big\vert =n \Big\vert a_{0}+ \lambda^{n} a_{n} \Big\vert.$$
    Cette inégalité implique l'équi-oscillation des polynômes de Tchebytchev. Ce sont d'ailleurs eux, à des rotations près, qui réalisent et caractérisent le cas d'égalité.
    Une preuve de ce fait est donné dans l'exercice ci-joint.
  • Merci BobbyJoe ,

    on utilise le cas de l'égalité dans une inégalité triangulaire: On choisit $\lambda$ tel que $\lambda^n=\frac{a_0}{a_n} |\frac{a_n}{a_0}|$ d'où $a_0=\lambda ^n a_n |\frac{a_0}{a_n} |$ donc $|a_0+\lambda^n a_n|=|a_0|+|\lambda^n a_n|=|a_0|+|\lambda^n|| a_n|=|a_0|+|a_n|$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Merci à vous deux pour la précieuse aide !
  • Il te reste la d) (je n'ai pas encore réfléchi à cette question)
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Oui, je n'ai pas eu le temps d'y réfléchir pour le moment ; en plus de cela, mon professeur de maths nous a indiqué aujourd'hui que cet exercice était l'un des plus durs dans un recueil de 350 exercices provenant de la RMS qu'il a constitué pour notre classe...

    Ce qui me dérange quand même, c'est que l'intégrale de départ ne nous sert plus. Dans le cadre d'un oral il me semble très difficile de penser à la somme de BobbyJoe sans indication de l'examinateur, et même si on y pensait, ça n'a pas beaucoup de sens de commencer l'exercice par le calcul de l'intégrale, autant nous donner directement la somme de départ d'Alpha-Nico...

    Y a-t-il un moyen d'adapter cette technique sommatoire avec l'intégrale ?
  • Ta question est légitime. Je suis comme toi, je ne trouve pas la bonne intégrante pour avoir $$\bigg|\int_0^{2\pi} ?P({\lambda . ?})d\theta \bigg|= 2\pi |a_0+\lambda^n a_n|$$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


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