Factorisation

Bonjour,

Dans la correction d'un exercice il est dit que $X^4 + X + 1$ est irréductible dans $F_2[X]$ car il n'admet pas de racine dans $F_2$ ni $F_4$. Je ne comprends pas car pour moi, le fait qu'il n'ait pas de racine dans $F_2$ montre que s'il se factorise c'est de la forme $(X^2 + aX + 1)(X^2 + bX + 1)$, mais alors pourquoi le fait qu'il n'ait pas de racine dans $F_4$ permet de conclure ? Pouvez-vous m'expliquer
Merci

Réponses

  • Quel est le corps de décomposition de l'un de tes deux facteurs de degré $2$ si jamais ton polynôme se factorise ainsi ?

    De manière générale, un polynôme de degré $n$ sur un corps $K$ est irréductible sur $K$ si et seulement s'il n'admet pas de racine dans toute extension de $K$ de degré $\leq n/2$.
  • Euh si par exemple $P = X^2+aX+1$ est irréductible sur $F_2$, j'en déduis que $F_2[X]/<P>$ est un corps à 4 éléments donc isomorphe à $F_4$, et qui possède $\alpha = X \mod P$ comme racine. Donc par contraposition si $Q = X^4 + X + 1$ n'a pas de racines dans $F_4$, il ne peut pas admettre de facteur de degré 2. Je crois avoir compris.

    Du coup si j'ai bien compris on peut dire que si $Q$ est un polynôme dans $F_p$ sans racine dans $F_{p^r}$ pour un $r \ge 1$, alors il ne peut admettre de facteur de degré $r$ pour la même raison.

    On peut même restreindre $r$ à $r \le \frac{p}{2}$ puisque au mieux $Q = Q_1Q_2$ avec l'un des deux $Q_i$ de degré inférieur où égal à $p/2$. C'est ce que dit ta deuxième remarque : il suffit de tester si $Q$ a des racines dans $F_{p^r}$ pour tout $r\le p/2$ : si la réponse est négative, le polynôme est irréductible. Bon si $p$ est grand ça peut être long ...

    Merci en tout cas mon cerveau est plus lumineux désormais.
  • Bojour,

    C'est étrange : on demande de factoriser $\phi_{15}$ dans $F_2[X]$, et la réponse donnée est : $\phi_{15} =\frac{(X^{15}+1)(X+1)}{(X^3+1)(X^5+1)}$. Je suis d'accord avec cette égalité qui vient de $X^{15} - 1 = \prod_{d|n}\phi_d$ , mais n'est-il pas plutôt attendu qu'on donne les facteurs exacts, et non une fraction rationnelle dont on sait qu'elle se simplifie en un polynôme ?
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