Une équation différentielle
Bonjour
Le problème que je vous soumets a déjà été traité il y a au moins un an sur ce forum avec des outils très avancés (distribution tempérée et transformation de Fourier). Je propose un exercice permettant de le résoudre (sauf erreur de ma part) avec des outils beaucoup plus rudimentaires.
Le problème est de montrer que si une fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et bornée et si elle vérifie pour tout $x$, $$f'(x)=f(x+1)-f(x)$$ alors $f$ est constante.
On note $C$ l'ensemble des fonctions vérifiant les hypothèses de ce problème.
1) Soit $f\in C$ telle que $f(0)=0$.
a) On pose $g(0)=f'(0)$ et pour $x>0$, $g(x)=\frac{f(x)}{x}$. Montrer que $g$ atteint son maximum en un réel $a$.
b) On suppose que $a=0$. Montrer que $g$ atteint également son maximum en 1. On peut donc supposer $a>0$.
c) Montrer que $g(a+1)=g(a)$ puis par récurrence que $g$ atteint son maximum en tous les points de la forme $a+n$.
d) Montrer que $f$ est négative sur $[a;+\infty[$
e) En remarquant que $-f\in C$ montrer que $f$ est nulle sur tout un voisinage de $+\infty$.
2) Soit $h\in C$ quelconque.
a) Montrer que la fonction $f=h-h(0)$ est nulle sur tout un voisinage de $+\infty$.
b) Montrer que $f$ est développable en série entière sur $\R$ en majorant convenablement , par récurrence, $\left|f^{(n)}(x)\right|$ pour chaque réel $x$.
c) Conclure.
Le problème que je vous soumets a déjà été traité il y a au moins un an sur ce forum avec des outils très avancés (distribution tempérée et transformation de Fourier). Je propose un exercice permettant de le résoudre (sauf erreur de ma part) avec des outils beaucoup plus rudimentaires.
Le problème est de montrer que si une fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et bornée et si elle vérifie pour tout $x$, $$f'(x)=f(x+1)-f(x)$$ alors $f$ est constante.
On note $C$ l'ensemble des fonctions vérifiant les hypothèses de ce problème.
1) Soit $f\in C$ telle que $f(0)=0$.
a) On pose $g(0)=f'(0)$ et pour $x>0$, $g(x)=\frac{f(x)}{x}$. Montrer que $g$ atteint son maximum en un réel $a$.
b) On suppose que $a=0$. Montrer que $g$ atteint également son maximum en 1. On peut donc supposer $a>0$.
c) Montrer que $g(a+1)=g(a)$ puis par récurrence que $g$ atteint son maximum en tous les points de la forme $a+n$.
d) Montrer que $f$ est négative sur $[a;+\infty[$
e) En remarquant que $-f\in C$ montrer que $f$ est nulle sur tout un voisinage de $+\infty$.
2) Soit $h\in C$ quelconque.
a) Montrer que la fonction $f=h-h(0)$ est nulle sur tout un voisinage de $+\infty$.
b) Montrer que $f$ est développable en série entière sur $\R$ en majorant convenablement , par récurrence, $\left|f^{(n)}(x)\right|$ pour chaque réel $x$.
c) Conclure.
Réponses
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Jolie problème.
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Ce problème avait été posé ici par gebrane qui disait à l'époque qu'il y avait beaucoup de méthodes
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1447708,page=1
Pourtant quand on lit, une méthode assez peu détaillée (et trop technique pour moi) a été évoquée et l'auteur mentionne également une autre solution dans un autre fil faisant appel à des notions très avancées d'analyse (la transformée de Fourier sur les distributions tempérées modélise le problème en $(e^{ix}-ix-1)Tf(x)=0$ et demande encore un peu de travail pour arriver à $x^2 Tf(x)=0$ puis $Tf=a\delta+b\delta'$ et enfin $f$ affine par inversion).
J'avais cherché un bon moment une solution élémentaire sans succès l'année dernière, et il y a deux jours, en repensant à ce problème, une petite intuition m'est apparue fructueuse et j'ai creusé.
Comme je n'ai pas prêté une longue attention aux détails (ceux parmi lesquels le diable est toujours caché), je me suis dit qu'en le posant sous forme de problème, ça pourrait faire l'objet d'une relecture attentive par des esprits aiguisés sur ce forum.
Voilà l'histoire -
Bonjour troisqua,
Je ne parviens pas à établir que si $g$ atteint son maximum en $a=-1$ , alors $g(-1) = g(0)$.
Ainsi, j'ai du mal à me convaincre que $g$ atteint son maximum en tous les points de la forme $a+n$ avec $n\in \N$.
Amicalement, -
Je ne comprends pas le a) : pour $f(x)=-\arctan(x)$ la fonction $g$ est négative et ne possède pas de maximum sur $\R$.
-
@LOU16: g est définie sur $\R^+$. Donc deux cas ou bien $a=0$ ou bien $a>0$
@jandri.
Tu as raison mon 1) n'est pas assez clair.
Si $f$ n'est pas négative (au sens large) sur $\R^+$ alors $g$ prend une valeur strictement positive sur $\R^+$ et donc, puisqu'elle a une limite nulle en $+\infty$, $g$ possède bien un max en un un point $a\geqslant 0$. Le raisonnement est que si on note $M$ le sup de $g$ sur $\R^+$, alors $M>0$. A partir d'un certain $b$, par limite, $g$ est majorée par $M/2 <M$. Sur $[0;b]$, $g$ possède un max (continuité sur un compact) qui est donc $M$ et qui est aussi le max sur $\R^+$.
Donc, si $f$ n'est pas négative sur $\R^+$, alors le raisonnement tenu dans les questions qui suivent montrent que $f$ est négative à partir d'un certain moment.
Bref, dans tous les cas elle est négative à partir d'un certain moment.
Comme $-f\in C$ également, $f$ est nulle à partir d'un certain moment.
J'améliore l'énoncé en éclaircissant:
1) Soit $f \in C$ telle que $f(0)=0$ telle que $f$ prenne une valeur strictement positive sur $\R^+$.
a) On définit $g$ sur $\R^+$ par $g(0)=f'(0)$ et pour $x>0$, $g(x)=\frac{f(x)}{x}$. Montrer que $g$ atteint son maximum en un réel $a$.
b) On suppose que $a=0$. Montrer que $g$ atteint également son maximum en 1. On peut donc supposer $a>0$.
c) Montrer que $g(a+1)=g(a)$ puis, par récurrence, que $g$ atteint son maximum en tous les points de la forme $a+n$.
d) Montrer que $f$ est négative sur $[a;+\infty[$
2) Soit $f \in C$ quelconque telle que $f(0)=0$. Montrer, grâce à la partie 1), et en utilisant que $-f \in C$, que $f$ est nulle sur tout un voisinage de $+\infty$.
3) Soit $h \in C$ quelconque.
a) Montrer que la fonction $f=h-h(0)$ est nulle sur tout un voisinage de $+\infty$.
b) Montrer que $f$ est développable en série entière sur $\R$ en majorant convenablement , par récurrence, $\left|f^{(n)}(x)\right|$ pour chaque réel $x$.
c) Conclure.
Edit: pour ceux qui souhaitent je peux poster une solution. -
Pour ceux que ça intéresse, une solution possible au problème (qui ne suit pas mot pour mot l'énoncé sous forme de problème que j'ai posé):
https://i.imgur.com/tSyrqoc.png
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