Anneau factoriel décomposition non-unique

Bonjour
Je cherche un exemple (le plus simple possible) d'un anneau intègre vérifiant l'axiome d'existence des anneaux factoriels, i.e pour tout élément non-nul et non-inversible il existe une décomposition en éléments irréductibles, mais pas l'unicité (à association près).
En fait je cherche même plusieurs exemples bien variés.
Bien Cordialement.

Réponses

  • Un des exemples les plus simples : $\Z\left[\sqrt{-5}\right]$ (car $3\times3=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})$) ou tout anneau quadratique non factoriel (c'est rare d'être factoriel) ou tout anneau de Dedekind.

    Est-ce que tout anneau noethérien non factoriel ne ferait pas l'affaire ?
  • Bonjour,

    J'allais donner l'exemple de $\Z[i\sqrt 3]$, mais Math Coss a été plus rapide que moi.

    @ Math Coss
    Oui, l'existence d'une décomposition en facteurs irréductibles est assurée dans tout anneau (commutatif) intègre et noethérien.
  • On peut prendre comme exemple demandé par johnsmoke l'exemple générique : $\mathbb Z[X,Y,Z,T]/(XY-ZT)$.
  • Bonjour,

    Merci pour vos réponses.
    Je tente de démontrer que tout anneau A noethérien non factoriel fait l'affaire comme à proposé Math Coss. Dites-moi si c'est bon.

    Par hypothèses, A est noethérien donc intègre.
    Raisonnons par l'absurde : l'ensemble E des éléments non-nuls, non-inversibles et non-irréductibles qui ne puisse pas être décomposés en éléments irréductibles est donc non-vide. Puisque A est noethérien, l'ensemble des idéaux principaux engendrés par les éléments de E admet un élément maximal pour l'inclusion de la forme pA. Mais toujours car A est noethérien, cet idéal est inclus dans au moins un idéal premier, donc pA est premier et p irréductible, contradiction.

    Ainsi dans A tout élément (non-nul non inversible) est produit d'éléments irréductibles. Par hypothèse A n'est pas factoriel, donc cette décomposition n'est pas unique. CQFD ?
  • Oua c'est dingue ce site b.b merci beaucoup !
  • A est noethérien donc intègre.
    Pourquoi ce donc ? Tu connais sûrement beaucoup d'anneaux noethériens non intègres.
    cet idéal est inclus dans au moins un idéal premier, donc pA est premier
    Pourquoi ? Tu supposes que tout idéal premier est principal ?
    Pour terminer ton argument, tu devrais plutôt procéder ainsi : puisque $p$ n'est pas irréductible, il existe $a$ et $b$ non inversibles tels que $p=ab$. Par maximalité, $a$ et $b$ peuvent être décomposé en produits finis d'irréductibles et donc ...
  • A est noethérien donc intègre.
    Pourquoi ce donc ? Tu connais sûrement beaucoup d'anneaux noethériens non intègres.

    Oui j'ai divagué.



    Je ne comprends pas pourquoi le raisonnement suivant est faux :

    -$pA$ est principal et maximal pour l'inclusion
    -$pA$ est inclus dans un idéal premier $P$

    donc nécessairement $pA = P$ par maximalité de $pA$ ?



    Sinon je reprends avec ton indication :

    Raisonnons par l'absurde :
    -Lensemble $E$ des éléments non-nuls, non-inversibles et non-irréductibles qui ne puisse pas être décomposés en éléments irréductibles est donc non-vide.
    -Puisque $A$ est noethérien, l'ensemble des idéaux principaux engendrés par les éléments de $E$ admet un élément maximal pour l'inclusion de la forme $pA$.
    -Puisque $p$ n'est pas irréductible, il existe $a$ et $b$ non inversibles tels que $p=ab$. Par maximalité, $a$ et $b$ peuvent être décomposé en produits finis d'irréductibles et donc $p$ se décompose en produit fini d'éléments irréductibles. -Contradiction.


    J'ai une question pour être sûr : quand on dit que dans un anneau noethérien tout ensemble non vide d'idéaux admet un élément maximal pour l'inclusion, rien ne dit bien sûr que cet élément est unique ? Je cherche encore un contre-exemple mais j'ai du mal


    Sinon j'essaye aussi de traiter l'exemple de GBZM :
    $\mathbb{Z}$ est noethérien donc $\mathbb{Z}[X,Y,T,Z]$ aussi puis le quotient $Q=\mathbb{Z}[X,Y,Z,T]\backslash(XY-ZT)$ également. Donc tout élément de $Q$ (non-nul non-invérsible) se factorise sur les irréductibles.
    $X, Y, Z,$ et $T$ ( les classes plus précisément) sont irréductibles dans $Q$, donc par construction on obtient l'égalité $XY=ZT$. Il n'y a donc pas unicité. ?
  • donc nécessairement $pA=P$ par maximalité de $pA$ ?
    $pA$ est maximal dans quel ensemble ?
  • Dans l'ensemble $E$ des idéaux principaux engendrés par les éléments non-décomposables en éléments irréductibles. Et donc $P$ n'étant pas nécessairement dans cet ensemble,$ pA$ peut très bien y être inclus. Et donc je suis bête !

    Merci
  • Meunon, tu n'es pas bête. Pas assez attentif sur le coup, c'est tout. Tout le monde peut se tromper.
  • Même moi ? J'ai oublié « intègre » plus haut.
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