Singularité essentielle ?

Bonjour

Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\mathbb{C}\setminus D(0,R)$ où $D(0,R)$ est le disque de centre $R > 0$.
Le fonction $g(u) = \dfrac{-1}{u^2}f\Big(\dfrac{1}{u}\Big)$ définie holomorphe sur $D(0,\frac{1}{R})\setminus \{ 0 \}$ est-elle toujours méromorphe sur $D(0,\frac{1}{R})$ (i.e $0$ est une singularité effaçable ou un pôle), ou une singularité essentielle peut apparaître en zéro ?
Merci.

Réponses

  • Prendre $f=\exp$.
  • Tout peut arriver....
    -si $f(z)=e^{z}$ alors $\displaystyle g(u)=-\frac{1}{u^{2}}f(\frac{1}{u})$ admet une singularité essentielle en zéro.
    -si $f$ est un polynôme (non nul) alors $g$ est une fraction rationnelle admettant $0$ comme pôle.
    -si $f$ est une fraction rationnelle disons $f(z)=\frac{1}{z^{2}}$ alors $g=-1$ et on est en présence d'une singularité éliminable.
  • Je voulais résoudre cette question en remarquant que si $h$ est méromorphe j'ai :

    $Res(h,0) = \frac{1}{2i\pi} \int_{C(0,\frac{1}{R'})}h(u)du = Res(f, \infty) = \frac{-1}{2i\pi}\int_{C(0,R')}f(z)dz$

    par changement de variable $z = 1/u$

    Mais du coup je suppose que je ne peux pas faire ça car $g$ a potentiellement une singularité essentielle en zéro ...?75848
    fff.png 29.2K
  • Ce que tu demandes et la définition de l'énoncé ne sont pas vraiment corrélées...
    Je te conseille de relire précisément le théorème des résidus... Cela pourrait aider ^^
  • Le théorème des résidus marche même avec des singularités essentielles.
  • Oui merci Héhéhé en fait dans mon cours le théorème est énoncé uniquement pour des pôles, donc je croyais que ça ne s'appliquait que dans ce cas là. Mais en cherchant d'autres sources, j'ai vu que la démo ne suppose rien sur la nature des singularités donc ça marche. Ca m'apprendra à mieux me renseigner.
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