Représentation sev

Playa

Bonjour,

J'ai besoin d'une indication sur le point suivant :
Tout sous-espace vectoriel $F$ de $\mathbb{R}^n$ de dimension $p$ peut s'écrire sous la forme : $F=A(\mathbb{R}^p)$ où $A$ matrice de format $(n,p)$.

Merci beaucoup.

Math Coss

Oui. Le sachant, peux-tu le démontrer ?
Suggestion : en prenant $\let\l=\lambda(\l_1,\dots,\l_p)\in\R^p$ et $\Lambda=\begin{pmatrix}\l_1&\l_2&\cdots&\l_p\end{pmatrix}^{\text{T}}$, comment décris-tu $A\Lambda$ en fonction de $A$ et des $\l_k$ ?

Playa

@Math Cross : Merci beaucoup.
J'ai compris, il suffit de prendre $A$ la matrice dont la colonne $i$ est le vecteur coordonnées (dans la base canonique de $\mathbb{R}^n$) de $f_i$ (i ème élément de la base de $F$).

Math Coss

C'est ça, à un détail près : il faut remplacer l'article défini « la » dans « la base », qui indique l'unicité de ladite base, par l'article indéfini « une », qui indique que plusieurs choix sont possibles (pour $p\ge1$ du moins).

En effet, $A\Lambda$ est la combinaison linéaire des colonnes de $A$ dont les coefficients sont $\lambda_1,\dots,\lambda_p$.

À présent, tu sais que tout sous-espace vectoriel de dimension $p$ de $\R^n$ peut être décrit (de plusieurs façons, puisqu'il existe plusieurs bases) comme image d'une application linéaire $\R^p\to\R^n$.

Saurais-tu démontrer que tout sous-espace $F$ peut être décrit comme noyau d'une application linéaire $\R^n\to\R^q$ ? Quelle est la plus petite valeur de $q$ possible ?

Playa

@Math Cross : Merci infiniment pour les détails et la proposition intéressante.

- On prend $F$ (dimension $p$). On complète sa base par $e_{p+1},\ldots,e_{n}$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, on peut écrire : $x=\sum\limits_{i=1,\ldots, p}\lambda_i f_i + \sum\limits_{i=p+1, \ldots,n} \lambda_i e_i$.
La décomposition est unique. Soit $\phi(x)=(\lambda_{p+1}, \ldots, \lambda_{n})$.
$\phi$ est linéaire (vers $\mathbb{R^{n-p}})$ et $F=\ker{\phi}$ (J'ai vérifié).

- Je ne vois pas comment prouver que $n-p$ est minimal (j'imagine). Je veux bien un indication.
Merci beaucoup.

Math Coss

Très bonne proposition. Pour la minimalité, le théorème du rang semble être la clé.

Reformulation partielle de ta construction. On a cette base $(f_1,\dots,f_p,e_{p+1},\dots,e_n)$. Pour simplifier, posons $e_1=f_1$,..., $e_p=f_p$, de sorte que la base est bravement $(e_1,\dots,e_n)$. L'application $\ell_i$ qui à un vecteur $v=\sum_{i=1}^n\lambda_ie_i$ associe $\lambda_i$ est linéaire.

Aparté : Comme elle atterrit dans $\R$, on parle de forme linéaire. L'espace des formes linéaires $E^*=\mathrm{Hom}(E,\R)$ est appelé le dual de $E$. La famille $(\ell_1,\dots,\ell_n)$ en est une base (exercice facile).

Revenons à $F$ : le noyau de ton application $\phi$ est l'intersection des noyaux de $\ell_{p+1},\dots,\ell_{n}$. Autrement dit, décrire $F$ comme tu l'as fait, c'est donner un système d'équations linéaires de $F$.

Moralement, c'est évident que le nombre minimal d'équations est $n-p$ : chaque fois que l'on ajoute une équation $\ell_k(v)=0$, l'espace des solutions perd $1$ dimension (si l'équation est « nouvelle », i.e. n'est pas combinaison linéaire des précédente, puisque le nouvel espace des solutions est un hyperplan dans l'espace des solutions précédent) ou $0$ (si l'équation ajoutée est combinaison linéaire des précédentes). Pour passer d'un espace de dimension $n$ à un espace de dimension $p$, il faut donc au moins $n-p$ équations.

Le théorème du rang le montre formellement (et plus facilement : d'un coup, d'un seul...). Ça part comme ça : si $\psi:E\to G$ est une application linéaire dont le noyau est $F$, alors...

Playa

@Math Cross : Encore une fois merci beaucoup.
Oui, en effet, ça semble évident maintenant.
Avec le théorème du rang : $\mathrm{rg} \, \psi=n-p \leq q$.

La représentation avec le noyau m'a fait penser aux adjoints !

Je propose un raccourci pour la 2ème représentation (noyau).
Soit $F^{\bot}$ l'orthogonale de $F$ et $\bar{A}$ la matrice de la représentation Image.
Alors $F=(F^{\bot})^{\bot}=\mathrm{Im}(\bar{A})^{\bot}=\ker(\bar{A}^t)$.

C'est correct ? Merci beaucoup.