Intégration résidus

Bonjour
On a vu que si $P,Q$ sont deux polynômes tels que les zéros $z_i$ de $Q$ soient complexes et $\deg(Q) \ge \deg(P) + 2$, alors on a le résultat suivant : $$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{P}{Q} = \sum_{k} \mathrm{Res}^{+}\Big( z_k, \frac{P}{Q}\Big) ,$$ où la somme est prise sur les résidus de partie imaginaire positive.
Pour le montrer on intègre sur le bord d'un demi-disque dans le plan supérieur de rayon $R$ et centré en zéro, puis on fait tendre $R$ en l'infini. Le fait que la différence des degrés de $Q$ et $P$ est au moins deux est primordial, et je me demandais s'il existait une autre technique (peut-être un autre contour) utilisant les résidus pour traiter le cas limite où $\deg(Q) = \deg(P) + 1$ ?
Merci.

Réponses

  • Si $\deg(Q) = \deg(P)+1$, alors $\dfrac{P}{Q}$ n'est pas intégrable sur $\R$. Le calcul de l'intégrale n'a donc pas vraiment de sens.
  • Ouille je suis bête veuillez m'excuser il est tard !
  • Je pose une autre question : une technique pour calculer $\int _{a}^{b} \frac{P}{Q} $ avec des résidus ? (ça sert à rien mais juste comme ça )
  • SI $\frac{P}{Q}$ est une fonction rationnelle telle que $\deg Q \geqslant \deg P + 1$, $\Q \neq 0$ sur $\left [a,b \right]$ et si $z_1,\dotsc,z_n$ sont les racines de $Q$, alors
    $$\int_a^b \frac{P(x)}{Q(x)} \, \textrm{d}x = - \sum_{k=1}^n \underset{z=z_k}{\textrm{Res}} \left( \frac{P(z)}{Q(z)} \log \left( \frac{z-a}{z-b} \right) \right).$$
    Ça se généralise aux fonction analytiques ayant un nombre fini de singularités et n'ayant que des pôles simples dans $\left]a,b \right[$.

    Référence.

    H. G. Garnir & J. Gobert, Fonctions d'une Variable Complexe, Louvain-Paris, 1965.
  • Ouaoh c'est dingue noix de totos je suis vraiment à la masse ce soir car j'ai fais un exercice démontrant ce théorème il y a à peine une semaine. Ca se trouve ici

    Est-ce que la généralisation aux fonctions holomorphes à pôles simples sur $]a;b[$ se trouve dans ta référence ?
  • Le voici :

    Soit $f$ analytique, n'ayant que des singularités finies, dont des pôles simples $a_1,\dotsc,a_m$ dans $\left]a,b \right[$, régulière aux points $a$ et $b$, et on note $b_1,\dotsc,b_n$ les singularités de $f$ n'appartenant pas à $\left]a,b \right[$. Alors
    $$\int_a^b f(x) \, \textrm{d}x = - \sum_{k=1}^n \underset{z=b_k}{\textrm{Res}} \left( f(z) \log \frac{z-a}{z-b} \right) - \sum_{k=1}^m \underset{z=a_k}{\textrm{Res}} \left( f(z) \log \frac{z-a}{b-z} \right).$$

    Référence.

    R. P. Boas & L. Schœnfeld, Indefinite integration by residues, SIAM Review 8 (1965), 173--183.
  • Merci beaucoup noix de totos.
  • De rien ! (tu)
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