Compréhension droite projective

Bonjour
Je viens d'ouvrir pour la première fois ce matin un livre de géo projective et je suis embêté dès le premier chapitre par la phrase suivante.

Soit $E$ un $K$-ev de dimension $n+1$ et $\mathbb{P}^n(E)$ l'espace projectif sur $E$. Soit $D$ une droite de $\mathbb{P}^n(E)$ etc ...

Le terme droite en gras fait-il référence à :
- une droite de de $E$, donc au final un élément de $\mathbb{P}^n(E)$
- une droite dans $\mathbb{P}^n(E)$ ? Mais c'est quoi ? Une droite dont les points sont des droites de $E$ ? Cette notion n'est à aucun moment définie. À moins que cela fasse référence à un sous-espace projectif de dimension 1 de $\mathbb{P}^n(E)$, i.e une "droite projective" de $\mathbb{P}^n(E)$ ?

Si vous pouviez m'éclairer. Merci.

Réponses

  • Une droite de $E$ correspond à (est ?) un point de $\mathbb{P}^n(E)$.

    Une droite de $\mathbb{P}^n(E)$ est une droite projective, c'est-à-dire un sous-espace projectif de dimension $1$, c'est-à-dire l'image d'un plan vectoriel de $E$ par la projection canonique $E\setminus\{0\}\to\mathbb{P}^n(E)$.
  • Peut-on dire alors que par deux points $A$ et $B$ de $\mathbb{P}^n(E)$ passe toujours une droite projective dans $\mathbb{P}^n(E)$, comme dans les espaces vectoriels normaux ?
    Si oui, comment trouver le plan vectoriel de $E$ telle que cette droite en soit l'image par la projection canonique $E\setminus\{0\}\to\mathbb{P}^n(E)$ ?
    Je cherche pour cela à associé à $A$ et $B$ deux vecteurs $a$ et $b$ de $E$ tels que la droite $AB$ ( dans $\mathbb{P}^n(E)$ ) soit l'image du plan vectoriel engendré pat $a$, $b$ dans $E$ par la projection canonique. Je ne vois pas comment faire cette association.
    Merci
  • Dans n'importe quel espace vectoriel, étant donné deux droites vectorielles $A$ et $B$, il existe un unique plan vectoriel $D$ contenant $A$ et $B$ : le plan vectoriel engendré par la réunion de $A$ et $B$.
  • Oui vu comme ça je vais mieux je suis bête pardon !

    J'ai une autre question du coup. Dans la définition donnée en pièces jointes, est-ce que $H$ est ce que l'on appelle communément "l'yperplan à l'infini" ? Dans le cas où $E$ est un plan, $H$ désigne-t-il cette fameuse doite à l'infini ?

    Merci75716
  • Non, c'est $P(H)$ qui est l'hyperplan à l'infini de la carte affine. (Un espace projectif n'a pas, tel quel, d'hyperplan à l'infini ; choisir un hyperplan d'un espace projectif et décréter que c'est l'hyperplan à l'infini revient à choisir une carte affine de l'espace projectif).
  • Ah d'accord c'est $P(H)$.


    Du coup si je comprends bien dans la construction du complété projectif $\hat{P}(E)$ d'un espace affine $\large{\epsilon}$ de direction $E$ et d'espace vectoriel universel $\hat{E}$, c'est naturellement (par construction) $P(E)$ qui est l'yperplan à l'infini de la carte affine ( $\large{\epsilon}$$ \rightarrow P(\hat{E}) \backslash P(E) $ ) ?75720
  • J'aurais une autre question :

    Est-ce que cela implique qu'en tant que variété réel ( on suppose que les ev sont réels ), $P^n(E)$ ne peut-être recouvert par un atlas de moins de n+1 cartes ?

    Car cela marche pour la droite projective qui est homéomorphe au cercle et qui nécessite donc au moins deux cartes pour être recouvert, mais je n'ai aucune idée si le plan projectif, apparemment homéomorphe à un ruban de Möbius recollé à un disque sur leurs bords, nécessite au moins 3 cartes pour être recouvert.

    Merci75722
  • Bonjour
    $P^n(E)$ est le quotient de la sphère $S^n(E)$ par la relation antipodale et la sphère $S^n(E)$ admet un atlas formé de deux cartes.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Est-ce possible d'avoir un isomorphisme explicite entre $P^n(E)$ et le quotient de $S^n(E)$ par la relation antipodale ?
  • Cher pappus, tu as raison mais sans doute johnsmoke voulait-il dire « carte affine » quand il a dit uniquement « cartes ».

    @johnsmoke : L'espace vectoriel $E$ a pour dimension $n+1$. Se donner $n$ cartes affines, c'est se donner $n$ hyperlplans $H_1,\dots,H_n$, ce qui revient à se donner $n$ formes linéaires $\ell_1,\dots,\ell_n$ (de sorte que $H_k=\ker\ell_k$ pour tout $k$). L'intersection de ces hyperplans est le noyau de l'application $\phi:E\to\R^n$, $v\mapsto (\ell_k(v))_{1\le k\le n}$ : la dimension de l'image est au plus $n$ donc la dimension du noyau est au moins $n+1-n=1$. Autrement dit, il existe au moins un vecteur $v$ non nul dans le noyau de $\phi$ : la droite qu'il engendre est contenue dans tous les $H_k$, elle définit un point de $P(E)$ qui n'appartient à aucune des cartes affines $P(E)\setminus P(H_k)$.
  • Merci Math Coss

    Si je résume : si on se restreint à des cartes affines il en faut au minimum $n+1$, et sinon on peut toujours recouvrir $P^n(E)$ par 2 cartes ( pas affines ) ?
  • 1°) Tu as raison pour l'hyperplan à l'infini de la complétion projective (avec sa carte affine donnée par le plongement de l'espace affine de départ).
    2°) Ne te laisse pas induire en erreur, les cartes de Pappus sont des cartes de la sphère, pas de l'espace projectif réel !
  • ah merci GBZM, le fait que l'on puisse recouvrir $S^n(R)$ par deux cartes est facile, j'interprétais mal la phrase de pappus je pensais qu'il disait que $P^n(E)$ était recouvrable par deux cartes ... et du coup je comprenais pas.

    Bon du coup je reformule ma question : on sait que $P^n(E)$ peut-être recouvert par au minimum $n+1$ cartes affines. Mais peut-on la recouvrir par moins de cartes ( pas nécessairement affines ) ? A-t-on des informations en générale où faut-il étudié au cas par cas ?

    Je reprends mon exemple : le plan projectif est homéomorphe à un ruban de Möbius recollé par bords à un disque. On sait qu'une telle structure peut être recouverte par 3 cartes affines, est-il possible de la recouvrir par 2 cartes ( pas nécessairement affines ) ?

    Merci
  • Non, ce n'est pas possible. Le problème général n'est pas tout à fait trivial. Tu peux voir plus de renseignements dans la notice ci-dessous :75742
  • Bonjour GBZM,

    Si je comprends bien dans le cas de $P^n(R)$, si $n+1 = 2^km$ est divisible par $8$, le nombre minimal de cartes pour recouvrir $P^n(R)$ peut-être beaucoup plus petit que $n+1$, d'autant plus que $n+1$ est grand et $k$ petit. J'aimerais lire l'article mais en allant sur le site d'où tu tires l'article on me demande un mot de passe ? Est-ce normal ? C'est un site payant ?

    Merci
  • Oui, MathSciNet n'est pas en accès libre, et si tu veux télécharger le chapitre du livre depuis le site de Springer, il t'en coûtera 29,94 €.

    Par ailleurs, c'est plus $k$ est grand que la différence entre $n+1$ et le nombre minimal de cartes est importante.
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