Précision limite $L^1(\mathbb{R})$

Bonjour
J'ai une suite de fonction $(h_n)_{n\ge0}$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que pour toute fonction $f$ continue sur $\mathbb{R}$ à support compact, on a $\lim\limits_{n\to 0} \| f*h_n -f \|_{L^1(\mathbb{R})} = 0$. ($*$ désigne la convolution).
Je dois étendre ce résultat à toute fonction $g \in L^1(\mathbb{R})$.

Du coup je fais ça.
Soit $g \in L^1(\mathbb{R})$.
Par densité des fonctions continues à support compact dans $L^1(\mathbb{R})$, il existe une suite $(g_m)_{m\ge0}$ de telles fonctions qui tend vers $g$ dans $L^1(\mathbb{R})$. On a donc $$
\forall m \ge 0,\ \lim_{n\to\infty} \| g_m*h_n -g_m \|_{L^1(\mathbb{R})} = 0.
$$ Puis-je alors expédier le résultat demandé simplement en disant que puisque $\lim\limits_{m\to \infty} g_m = g$ (dans $L^1(\mathbb{R}) $), on déduit que
$\lim\limits_{n\to\infty} \| g*h_n -g\|_{L^1(\mathbb{R})} = 0$. Je doute fortement.

Merci.

Réponses

  • Si je comprends bien, tu sais rendre petites les longueurs des segments noirs – sauf peut-être celle en pointillés – et tu veux rendre petite la longueur du segment rouge, c'est ça ? Ça a l'air faisable : en gros, il suffit de contrôler la longueur du segment pointillé.75678
  • @Math Coss : le segment d'extrémités \(g_m\ast h_n\) et \(g\ast h_n\) est-il vraiment noir ? On a peu de renseignements sur \(h_n\)…
  • Non. J'ai rectifié tout de suite mais pas encore assez vite !
  • Wao merci beaucoup ton dessin ma vraiment aidé. En fait je pense avoir trouvé du coup ( les normes sont prises dans $L^1$ ):

    $|| g - g*h_n || = || g + (g_m -g_m) + (g_m*h_n - g_m*h_n) - g*h_n || \le || g - g_m || + || g_m*h_n -g_m || + || (g_m - g)*h_n|| $, et ce dernier terme tend vers $0$ lorsque $n,m$ tendent à l'infini.

    Ce dessin est tout simplement salvateur. C'est vrai que penser les fonctions comme des points aide souvent.

    Merci infiniment Math Coss
  • Infiniment, c'est cher payé !

    Pourquoi est-ce que le terme $\|(g_m-g)*h_n\|$ « tend vers $0$ lorsque $n$, $m$ tendent vers l'infini » ? Ça m'a l'air un tout petit peu plus délicat que ça, vu comme l'a dit gb qu'on sait si peu de choses sur $(h_n)$.
  • Ah oui c'est vrai en fait je n'ai que décalé le problème du coup ...

    Bon alors les $h_n$ sont définis par : $h_n(x) = \mathbf 1_{[-1,1]}n(1-n|x|),\ \forall x \in \mathbb{R},\ \forall n \ge 1.$
    (le premier $1$ désigne la fonction indicatrice, je ne sais pas la faire.)

    [Simplement \mathbf{1} qui donne $\mathbf 1_X$. ;-) AD]
  • Le résultat de ton premier message ne s'étend pas à $L^1$ sans hypothèses supplémentaires sur la suite $(h_n)$. Par exemple en prenant $h_n= n^3\mathbf 1_{[0;1/n]}-(n^3-n)\mathbf 1_{[1/n;2/n]}$ on va bien avoir $h_n*f \to f$ pour tout $f\in C^0_c$ mais si je prend $f=\mathbf 1_{[0;1]} $ alors on voit que pour $x\in[1-1/n;1-1/2n]$ on a $h_n*f(x)\geq n^3\frac{1}{2n}\geq n^2/2$ et donc $\|h_n*f\|\geq \frac{n^2}{2}\frac{1}{2n}\geq n/4$. On voit donc que $h_n*f$ ne peut pas tendre vers $f$.

    Si on impose la positivité des $h_n$ ça doit pouvoir marcher.

    Edit : en fait à la place de la positivité, demander à ce que la suite $(\|h_n\|)_n$ soit bornée doit suffire
  • Bon, au moins $h_n$ est bornée, ça donne une majoration de $\|(g_m-g)*h_n\|$ en fonction de $\|g_m-g\|$. Certes, par quelque chose qui tend vers l'infini avec $n$... mais ce n'est pas si grave.

    Edit : Marrant, ce que j'ai en tête n'est pas compatible avec le contre-exemple de Mojojojo...
  • Ok mojojo merci pour ton contre-exemple.
    Puisque le contrôle sur les fonctions $h_n$ semble important, je poste tout l'exercice.
    J'ai tout fait sauf la e) qui m'embête.75682
    75684
  • Il suffit alors d'utiliser l'inégalité valable pour tout $f,g\in L^1 $:
    $$\|f*g\|_1\leq \|f\|_1\|g\|_1$$
    (se démontre avec Fubini)
  • Ok, merci mojojojo, du coup puisque $g-g_m$ et $h_n$ sont dans $L^1$ :

    $|| g - g*h_n ||_1 = || g + (g_m -g_m) + (g_m*h_n - g_m*h_n) - g*h_n ||_1 \le || g - g_m ||_1 + || g_m*h_n -g_m ||_1 + || (g_m - g)*h_n||_1$
    $ \le || g - g_m ||_1 + || g_m*h_n -g_m ||_1 + || (g_m - g)||_1||h_n||_1$

    On a bien $ || (g_m - g)||_1 $ tend vers $0$ en $m$ infini, mais le fait que les $h_n$ ne soient pas uniformément bornés me dérange ($h_n$ est bornée par $n^2-n$). Ne peut-il pas y avoir compensation a la limite en $m,n$ infini de $|| (g_m - g)||_1||h_n||_1$ de tel sorte que la limite soit non nulle ?

    Au passage je viens de voir dans mon livre qu' on a $||f*g||_p \le ||f||_1||g||_p $, pour tout $f \in L^1$, $g \in L^p$.
  • Non ça ne va pas mojojojo ton inégalité ne me permet pas de conclure. Je suis à chaque fois bloqué par des termes qui dépendent de $m$ et $n$. Peut-être devrais-je envisager une autre méthode ..

    Pourrais tu préciser ?
  • Si je peux me permettre, tu as mal copié la définition de $h_n$ : il y a ce minuscule $+$ en indice qui change bien des choses : la norme $1$ de $h_n$ est bornée ! Combien vaut-elle au fait ?

    Voyons, à partir de l'inégalité que tu as écrite, en ajoutant que $\|f*h_n\|_1 \le \|f\|_1\|h_n\|_1$, on obtient :
    \[\| g - g*h_n \|_1 \le \| g - g_m\|_1(1+\|h_n\|_1) + \| g_m*h_n -g_m \|_1.\]On se donne $\varepsilon>0$ : on peut choisir $m$ pour que $\| g - g_m\|_1(1+\|h_n\|_1) \le\varepsilon$ (pourquoi ?) puis $n$ pour que $\| g_m*h_n -g_m \|_1\le\varepsilon$ (pourquoi ?). Pourquoi est-ce terminé ?
  • Oui effectivement je comprenais $h_n$ comme une autre fonction ... Quand on prend la bonne ça va mieux ! Du coup je peux conclure.

    Soit $\epsilon > 0$.
    Puisque $\forall n, \ \| h_n \|_1 = 1$ et $\lim\limits_{m\to\infty} \| g - g_m\|_1 = 0$, il existe $M$ tel que $m \ge M$ implique $2\| g-g_m\|_1 \le \epsilon .$
    Puisque $\lim\limits_{n\to\infty}\| g_m*h_n - g_m\|_1 = 0$, il existe $N$ tel que $n\ge N$ implique $\| g_m*h_n - g_m\|_1 \le \epsilon.$
    Donc pour $n\ge \max(M,N)$, on a $\| g*h_n - g\|_1 \le 2\epsilon.$
    On conclut : $\forall g \in L^1(\mathbb{R}),\ \lim\limits_{n\to\infty}\|g -g*h_n\|_1 = 0.$

    Merci beaucoup.
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