Polynômes 2-symétriques

jaccuzzi

Bonjour
J'ai un petit problème à vous soumettre. Si vous avez une solution ou au moins une piste...

Soit $p\in Z_n[X_1,\ldots,X_4,Y_1,\ldots,Y_4]$. On dit qu'il est $2$-symétrique si $$p(X_1,\ldots,X_4,Y_1,\ldots,Y_4)=p(Y_1,\ldots,Y_4,X_1,\ldots,X_4).
$$ Pour $(i,j)\in \{1,\ldots,4\},\ i\leq j$, on définit les 10 polynômes $2$-symétriques $q_{ij}\in Z_n[X_1,\ldots,X_4,Y_1,\ldots,Y_4]$ par $$q_{ij}=(X_i+X_j)(Y_i+Y_j)$$ et soit $\beta$ un polynôme non-nul $2$-symétrique arbitraire.

Je souhaiterais montrer (si le résultat est vrai) qu'il n'existe pas 9 polynômes $\alpha_1,\ldots,\alpha_9$ $2$-symétriques et 10 polynômes $P_{ij}$ tels que pour tout $(i,j)\in \{1,\ldots,4\},\ i\leq j,\ P_{ij}(\alpha_1,\ldots,\alpha_9)=q_{ij}\beta$.

Voilà.
Merci à vous !

[Modification du titre. Titre initial : symmetrie]