Limite en 0 d'une fonction

Harastieu

Bonjour
Je dois calculer la limite en $0$ de $\ \dfrac{e^{2x}-1-2x}{1-\cos(x)}$
J'ai essayé beaucoup de choses comme factoriser, ou bien utiliser un développement limité ou encore l’Hôpital mais je n'arrive pas à sortir de la forme indéterminé $\frac{0}{0}$.
Des idées ?
Merci d'avance !

Dom

Quelques développements limités ? Est-ce autorisé ?
Cela fonctionne bien (une simplification par $x^2$).

gerard0

Bonjour.

Pourtant avec des développement limités (et évidemment, une simplification) c'est immédiat.
Expose ton calcul.

Cordialement.

Harastieu

Je ne crois pas, mais j'ai tenté quand même haha !

Donc je suis bloqué ...

GaBuZoMeu

L'Hôpital à double détente marche très bien.

Harastieu

Parfait, je n'avait pas pensé à faire un double Hôpital, et effectivement ça fonctionne parfaitement, merci !

Poirot

Un développement limité à l'ordre $2$ de chaque côté fonctionne parfaitement pourtant : $$\frac{e^{2x}-1-2x}{1-\cos(x)} = \frac{2x^2 + o(x^2)}{\frac{x^2}{2} + o(x^2)} = \frac{2+o(1)}{\frac{1}{2} + o(1)}.$$

GaBuZoMeu

Ordre deux du d.l., L'Hôpital double : c'est bien cohérent. Si l'un marche l'autre aussi, et vice-versa :-D.

Poirot

Je sais bien, je répondais juste à la remarque de Harastieu qui disait ne tomber que sur des formes $\frac{0}{0}$ en faisant des développements limités. Il s'était visiblement restreint à l'ordre $1$, ce qui suffit rarement... (l'ordre $1$ c'est juste faire apparaître un taux d'accroissement)

Dom

Je sens bien une phrase humoristique, mais il existe bien des exemples où l'Hôpital fonctionne sans que les D.L. fonctionne, non ? J'ai un vieux souvenir avec un truc du type ArcCos/ArgCh...flûte...

gerard0

Heu ... un DL à l'ordre 1 du dénominateur, c'est vraiment la flemme ! on n'obtient même pas un équivalent.

Dom

C'est le D.L. à l'ordre 0 qui décourage le plus (:P)

Harastieu

Effectivement Poirot, je mettais restreint à l'ordre 1 ! Mea-culpa !

Merci à vous tous pour votre aide et bonne soirée !