Borne fonction complexe

Bonjour à tous,

Soient $a,b \in \mathbb{R}, a < b$

La fonction complexe $ Log( \frac{z-a}{z-b} )$ est définit sur $\mathbb{C} $ privé de $[a,b]$. Je cherche éventuellement à montrer que :

$RLog( \frac{Re^{i\theta}-a}{Re^{i\theta}-b} )$ reste borné lorsque $R$ tend vers l'infini, où theta appartient à $]0;2\pi[$.

En fait j'arrive à montrer que $lim_{R\to\infty} ( Log( \frac{Re^{i\theta}-a}{Re^{i\theta}-b} ) ) = 0$, et comme $R$ tend vers l'infini, il me faudrait pouvoir comparer les croissances pour conclure au bornage ou non de $RLog( \frac{Re^{i\theta}-a}{Re^{i\theta}-b} )$.

Réponses

  • Bonjour

    $\frac{z-a}{z-b}=1+\frac{b-a}{z-b}$

    Cordialement.
  • Bonjour,

    \[\frac{Re^{i\theta}-a}{Re^{i\theta}-b} = 1+\frac{b-a}{Re^{i\theta}-b}\]
  • Cool merci du coup :

    $Log( 1+\frac{b-a}{Re^{i\theta}-b} ) = \sum{(-1)^{n+1}\frac{(b-a)^n}{n(Re^{i\theta} -b)^n}}$

    et donc

    $| RLog( 1+\frac{b-a}{Re^{i\theta}-b}) | = R\sum{\frac{(b-a)^n}{n|Re^{i\theta} -b|^n}}$

    Mais le b au dénominateur me gêne pour simplifier et conclure
  • Par inégalité du triangle :
    \[\lvert Re^{i\theta}-b\rvert \geqslant \Bigl\lvert R - \lvert b\rvert\Bigr\rvert\]
    donc :
    \[R>\lvert b\rvert \implies \lvert Re^{i\theta}-b\rvert \geqslant R - \lvert b\rvert > 0 \implies \frac{1}{\lvert Re^{i\theta}-b\rvert} \leqslant \frac{1}{R - \lvert b\rvert}.\]
  • Merci gb,

    Si $f$ est une contion complexe telle que $lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0$, cela permet-il de conclure à la convergence uniforme ( selon $ \theta$ dans $] 0;2\pi[$ ) vers la fonction nulle de la fonction $ f(Re^{i\theta})RLog( 1+\frac{b-a}{Re^{i\theta}-b} ) $, lorsque $R \to \infty$ ?

    Je pense que oui car $ Log( 1+\frac{b-a}{Re^{i\theta}-b} )$ est du coup borné indépendament de theta.
  • Quand \(R\) tend vers l'infini, \(f(Re^{i\theta})\) tend-il vers 0 uniformément en \(\theta\) ?
  • La fonction est définit ? pourquoi pas définite ?
  • Non il n'est pas fait d'autre hypothèse que $f$ est une fonction méromorphe définie sur $\mathbb{C}$ dont les pôles (en nombre fini) ne rencontrent pas $[a,b]$ et vérifiant $\lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0$.

    Je cherche à montrer que l'intégrale de Cauchy sur le bord du cercle de rayon $R$ paramétré par $Re^{i\theta}$ de la fonction méromorphe $f(z)\log( 1+\frac{b-a}{z-b} )$ tends vers 0 lorsque $R \to \infty$.
    Si je n'ai pas la convergence uniforme (ou normale ou dominée), je ne peux pas appliquer le théorème de convergence dominée pour intervertir limite et intégrale. Voilà pourquoi je pose la question.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.