Exercice théorème de Bloch

Bonjour à tous
Je bloque sur la dernière question de cet exercice donné en pièces jointes.

Il s'agit donc de montrer que l'image d'une fonction holomorphe sur $D(0,1)$ telle que $f'(0) \ne 0$ contient un disque de rayon $\frac{ |f'(0)|}{25}$.

Soit $f$ comme dans l'énoncé de la question 4, en supposant en plus $f'$ bornée sur D ( on verra après). Alors j'applique les questions précédentes pour trouver :
sur $ D(0,1)$, l'image de la fonction $\dfrac{ f( a + rz) - f(a)}{rf'(a)} $ contient le disque $D(0, \frac{1}{12} ) $
ce qui équivaut à dire que
sur $D(0,1)$, l'image de la fonction $f(a + rz) $ contient le disque $D\Big(f(a), \dfrac{(1-|a|)|f'(a)|}{24} \Big) $ (je rappelle $ r = \dfrac{1-|a|}{2}$ )

Je remarque alors que je suis assez proche du résultat si $a = 0$, donc j'essaye de translater $f$ par quelque chose pour me ramener à $a = 0$, mais je m'embrouille et n'arrive jamais à conclure.
Si vous pouviez me donner quelques pistes.
Merci d'avance,
John

[Felix Bloch (1905-1983) prend toujours une majuscule. AD]75436

Réponses

  • Il semble que ce $\frac{1}{25}$ est une erreur de frappe.... et que la bonne constante est $\frac{1}{24}.$
    De toute façon, la valeur de cette constante n'est pas importante en pratique (notamment pour démontrer le théorème de Picard) et déterminer la meilleure constante ("de la constante de Bloch") est un problème ouvert, même si des bonnes estimées existent déjà.
  • Oui enfin c'est pas vraiment une erreur du coup car si c'est vrai pour 24, c'est vrai pour 25 et pour tout $x \ge 24$ ...
    Disons que 25 n'est pas optimal vis-à-vis de l'exercice , OK

    Merci à toi, mais aurais-tu une idée pour m'aider à résoudre cette question 4 du coup !?
  • Soit $\varepsilon\ll 1.$

    On veut appliquer le résultat $3$ à la fonction $g$ définie pour $z$ appartenant à $\mathbb{D},$ $\displaystyle g(z)=\frac{f\big( z(1-\varepsilon) \big)-f(0)}{(1-\varepsilon)f'(0)}.$

    La fonction $g$ satisfait $g(0)=0,g'(0)=1$ et $g'$ bornée sur $\mathbb{D}$ (car $f$ holomorphe sur $\mathbb{D}$).

    Par le résultat $3,$ l'image de $\mathbb{D}$ par $z\mapsto g(a+rz)$ contient $\displaystyle D\Big( g(a),\frac{(1-\vert a \vert)\vert g'(a) \vert}{24} \Big)$ pour un certain $a$ appartenant à $\mathbb{D}.$

    Par définition de M, on a $\displaystyle (1-\vert a \vert)\vert g'(a) \vert \geq \vert g'(0) \vert =1$ (car $0$ appartient à $\mathbb{D}$).

    Et alors, on a finalement que l'image de $\mathbb{D}$ par $z\mapsto f(z)$ contient un disque de rayon $\displaystyle \frac{(1-\varepsilon)\vert f'(0) \vert}{24}$ d'où le résultat désiré (quitte à choisir $\varepsilon$ petit).
    Il faut bien remarquer que $\displaystyle f\big( (1-\varepsilon)(a+r\mathbb{D}) \big)\subset f(\mathbb{D})$ et $\displaystyle D\Big(f\big( a(1-\varepsilon) \big), \frac{(1-\varepsilon)\vert f'(0) \vert}{24}\Big) \subset f\big( (1-\varepsilon)(a+r\mathbb{D}) \big).$
  • Merci BobbyJoe c'est l'histoire du $\epsilon$ qui me manquait. Tout ce que tu as écrit passe bien sauf la dernière ligne avec laquelle j'ai encore du mal mais ça va venir.

    Juste une précision je ne vois pas pourquoi $f$ holomorphe sur $\mathbb{D}$ implique que $g'$ est bornée sur $\mathbb{D}$ ? $\mathbb{D}$ est ouvert et rien ne dit que $g'$ est prolongeable par continuité sur son bord (pourquoi $g'$ ne tendrait pas vers $+\infty$ lorsque $z$ se rapproche du bord) ? Merci.
  • C'est bien pour cela que j'ai contracté un peu l'argument de la fonction (le $1-\varepsilon<1$) pour rester à distance positive du bord de $\mathbb{D},$ au prix de perdre un peu sur la constante de Bloch finale..
    Pour le dernier point, il n'y a rien de sorcier, il s'agit d'une reformulation du résultat obtenu (par le point $3$). Il suffit d'écrire les inclusions ensemblistes et tu verras...
  • Oui bien sûr, merci pour tout.
    C'est quand même étonnant ce théorème de Bloch, la démonstration est intéressante mais peu éclairante, je n'arrive toujours pas à comprendre la raison profonde de ce résultat, mais bon ça viendra ...

    J'ai quelques questions du coup :

    Une fonction holomorphe sur le disque étant donnée, comment déterminer le diamètre maximal nécessaire d'un disque inclus dans son image ? Par exemple dans l'exercice on sait que l'image de $f$ contient un disque de rayon $|f'(0)|/24$, mais on peut imaginer qu'on puisse démontrer qu'elle contient forcément un disque de rayon strictement supérieur à $|f'(0)|/24$ ? Comment donc déterminer le diamètre maximal d'un disque de diamètre minimal (!!) nécessairement inclus dans l'image de $f$ ? Je sais pas si je me fais bien comprendre ...

    Connais-tu des techniques pour approcher et déterminer "la" constante de Bloch ? Quelle est la meilleur approximation connue aujourd'hui ?

    Quelles obstructions à étendre ce résultat à un disque ouvert quelconque inclue dans un ouvert quelconque de $\mathbb{C}$ ?
  • Il n'y pas d'obstruction, ce résultat est parfaitement invariant par translation et "dilatation" (à des constantes multiplicatives près). On se ramène donc à étudier les fonctions sur le disque unité.

    Je pense qu'historiquement les gens ce sont intéressés d'abord aux fonctions univalentes (holomorphe, injective) sur le disque puis ensuite à leurs généralisations (applications quasi-conformes) cf les travaux d'Alhfors et d'Hayman entre autres.

    Le théorème de Bloch peut-être vu comme une quantification naturelle du théorème d'inversion locale : les applications holomorphes sont certes ouvertes mais sous une condition de non-dégénérescence, quelle est la "taille" minimale de l'image?

    Enfin, il existe une alternative au théorème de Bloch (qui implique le petit théorème de Picard) : le théorème de Schottky qui implique lui le grand théorème de Picard (il s'agit d'une version quantitative).

    Si les fonctions holomorphes t'intéressent, tu peux lire l'excellent livre spécialisé" sur le sujet de C. Miranda, seul livre que je connaisse qui recense la preuve la plus complète des théorèmes de type Picard. Ce livre contient une introduction à la théorie de Nevanlinna ainsi que des applications aux théorème de type Polya sur la caractérisation des exponentielles : les seules fonctions entières qui ne s'annulent pas et dont une de leurs dérivées $n-$ième ne s'annullent pas (avec $n\geq 2$) sont les exponentielle de polynômes de degré 1.

    Sinon, je sais que dans le livre de Amar-Matheron (analyse complexe) se trouve un exercice sur le théorème de Bloch avec l'application au
    petit théorème de Picard (de l'analyse de Fourier, essentiellement la formule de Parseval, est utilisée pour trouver une meilleure borne que celle de ton exercice).

    Enfin non, je ne connais pas les idées qui permettent d'arriver aux majorations optimales présumées... Tu peux trouver un lien vers l'article original sur https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch's_theorem_(complex_variables).

    Bonne lecture!
  • Merci pour tout BobbyJoe, ça me fait de la lecture. A une prochaine.
  • Qu'est-ce que $ O(D) $ ?
  • Le livre de C. Miranda, est-ce : Carlo Miranda, Lezioni di Analisi matematica ? Merci.
  • @Chaurien Je ne crois pas.... Et maintenant que tu me le dis, dans ce livre qui n'est pas de Miranda mais de Robert B. Burckel : "An Introduction to Classical Complex Analysis" se trouve une preuve du théorème de Miranda (celui généralisant Picard).
    Merci pour la correction! Désolé pour la fausse piste...
  • Et le $O(D)$, qu'est-ce ? Merci.
  • C'est certainement l'anneau des fonctions holomorphes sur $D$.
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