Paradoxe des deux enfants
Bonjour,
Tel un marronnier avec le printemps, le paradoxe de la "famille aux deux enfants" revient régulièrement sur le forum !
Dans la page Wikipedia qui lui est consacrée, on peut lire ceci à la fin de l'article :
Jean-Paul Delahaye propose de déterminer la probabilité que deux enfants soient des filles sachant qu'il y a au moins une fille prénommée Sophie parmi eux. L'hypothèse implicite selon laquelle les deux enfants n'ont pas le même prénom revient alors à particulariser Sophie, ce qui entraîne que la probabilité cherchée vaut 1/2.
Il me semble que cette dernière affirmation est dénuée de tout fondement. Il est pourtant clair que cette probabilité dépend essentiellement de la manière dont on choisit les prénoms, des coutumes et des traditions qui influencent, voire régissent ce genre de choix dans une société donnée. Imaginons une tribu dans laquelle on ne donne jamais le prénom "Sophie" à un second enfant, la probabilité est naturellement 1/2. Ou une autre dans laquelle on ne donne ce prénom qu'à une deuxième fille, la probabilité passe à 1. Ou encore une troisième où l'on ne donne ce prénom à une fille que si elle a déjà un frère, la probabilité tombe à zéro.
J'aurais été intéressé de lire ce qu'en dit Delahaye. Malheureusement, il a écrit dans un ancien "Pour la science" qui m'est inaccessible. Qu'en pensez-vous ?
En attendant et pour m'amuser, je vous propose une modélisation qui me semble raisonnablement réaliste. J'imagine une société relativement homogène linguistiquement et de traditions langagières suffisamment stables pour que la notion de fréquence d'un prénom ait un sens.
Je choisis donc comme univers $\Omega $ = { g, s, f }2
g pour garçon, s pour Sophie, f pour fille prénommée autrement.
L'événement "le premier enfant est un garçon" est G1 = { g } × { g, s, f }
L'événement "le premier enfant est une fille" est F1 = { s, f } × { g, s, f }
L'événement "le premier enfant est une fille prénommée Sophie" est S1 = { s } × { g, s, f }
L'événement "le deuxième enfant est un garçon" est G2 = { g ,s,f} × { g, }
L'événement "le deuxième enfant est une fille" est F2 = { g, s, f } × { s, f }
L'événement "le deuxième enfant est une fille prénommée Sophie" est S2 = { g, s, f } × { g }
Je note AB pour A $\cap$ B. Les hypothèses générales sont (j'ignore délibérément la problématique des jumeaux, de la surreprésentation des filles, etc):
p (F1 ) = 1/2
p (F2 ) = 1/2
p (S1 S2 ) = 0
Les hypothèses d'indépendance sont :
p (F2 | G1 ) = p (F2 )
p (F2 | F1 ) = p (F2 )
p (F2 | S1 ) = p (F2 )
J'introduis la probabilité $\alpha $ du choix de "Sophie" comme premier prénom féminin et la probabilité $\beta $ du choix de "Sophie" comme deuxième prénom féminin.
p (S1 | F1 ) = $\alpha $
p (S2 | G1 F2 ) = $\alpha $
p (S2 | F1 F2 \ S1 F2 ) = $\beta $
On a alors
p (S1 F1 ) / p (F1 ) = $\alpha $
p (S1 ) = $\alpha $ /2
p (S2 G1 F2 ) / p (G1 F2 ) = $\alpha $
p (S2 G1 ) = $\alpha $/4
p ( S2 (F1 F2 \ S1 F2) ) / p ( F1 F2 \ S1 F2) = $\beta $
p (S2 F1 \ S1 S2 ) = p (S2 F1 ) = $\beta $(1/4 - $\alpha $/4) = $\beta $/4 - ($\alpha\beta$)/4
p (S2 ) = p (S2 G1 U S2 F1 ) = $\alpha $/4 + $\beta $/4 - ($\alpha\beta $)/4
Finalement, la probabilité cherchée, h, qu'une famille de deux enfants dont une fille qui s'appelle Sophie ait deux filles est :
h = p ( F1 F2 | S1 U S2 ) = p ( S1 F2 U F1 S2 ) / p (S1 U S2 ) =
( $\alpha $/4+ $\beta $/4 - ($\alpha\beta $)/4) / ( $\alpha $/2+ $\alpha$/4 + $\beta $/4 - ($\alpha\beta $)/4
h = ($\alpha $ + $\beta $ - $\alpha\beta $) / (3$\alpha $ + $ \beta $ - $\alpha\beta $)
En faisant $\alpha $ = $\beta $ (on choisit le prénom "Sophie" avec la même fréquence pour la première fille que pour la seconde (avec un autre prénom pour la première, naturellement)) , on a h = (2 - $\alpha$)/(4 - $\alpha $). On voit que h varie de 1/3 ($\alpha $ = 1) à 1/2 ($\alpha $ proche de 0), ce qui confirme l'intuition :
Si $\alpha$ = 1, les familles équiprobables GG, GF, FG FF sont GG, GS, SG SF, d'où le 1/3.
Si $\alpha $ est proche de 0, les (peu nombreuses) familles GF qui sont des GS sont en même nombre que les familles FG qui sont des SG, alors que les familles FF qui sont des SF ou des FS sont deux fois plus nombreuses, d'où le 1/2.
Par ailleurs, si l'on revient au cas général, et qu'on fait $\alpha $ = 0, on a h = 1 (les "Sophie" sont une deuxième fille).
Enfin, si $\beta $ = 0, h = 1/3 (les GS, SG, SF restent dans les mêmes proportions que les GF, FG, FG, FF.
Quelqu'un aurait-il l'amabilité de vérifier la correction de mes calculs ? Merci d'avance.
Tel un marronnier avec le printemps, le paradoxe de la "famille aux deux enfants" revient régulièrement sur le forum !
Dans la page Wikipedia qui lui est consacrée, on peut lire ceci à la fin de l'article :
Jean-Paul Delahaye propose de déterminer la probabilité que deux enfants soient des filles sachant qu'il y a au moins une fille prénommée Sophie parmi eux. L'hypothèse implicite selon laquelle les deux enfants n'ont pas le même prénom revient alors à particulariser Sophie, ce qui entraîne que la probabilité cherchée vaut 1/2.
Il me semble que cette dernière affirmation est dénuée de tout fondement. Il est pourtant clair que cette probabilité dépend essentiellement de la manière dont on choisit les prénoms, des coutumes et des traditions qui influencent, voire régissent ce genre de choix dans une société donnée. Imaginons une tribu dans laquelle on ne donne jamais le prénom "Sophie" à un second enfant, la probabilité est naturellement 1/2. Ou une autre dans laquelle on ne donne ce prénom qu'à une deuxième fille, la probabilité passe à 1. Ou encore une troisième où l'on ne donne ce prénom à une fille que si elle a déjà un frère, la probabilité tombe à zéro.
J'aurais été intéressé de lire ce qu'en dit Delahaye. Malheureusement, il a écrit dans un ancien "Pour la science" qui m'est inaccessible. Qu'en pensez-vous ?
En attendant et pour m'amuser, je vous propose une modélisation qui me semble raisonnablement réaliste. J'imagine une société relativement homogène linguistiquement et de traditions langagières suffisamment stables pour que la notion de fréquence d'un prénom ait un sens.
Je choisis donc comme univers $\Omega $ = { g, s, f }2
g pour garçon, s pour Sophie, f pour fille prénommée autrement.
L'événement "le premier enfant est un garçon" est G1 = { g } × { g, s, f }
L'événement "le premier enfant est une fille" est F1 = { s, f } × { g, s, f }
L'événement "le premier enfant est une fille prénommée Sophie" est S1 = { s } × { g, s, f }
L'événement "le deuxième enfant est un garçon" est G2 = { g ,s,f} × { g, }
L'événement "le deuxième enfant est une fille" est F2 = { g, s, f } × { s, f }
L'événement "le deuxième enfant est une fille prénommée Sophie" est S2 = { g, s, f } × { g }
Je note AB pour A $\cap$ B. Les hypothèses générales sont (j'ignore délibérément la problématique des jumeaux, de la surreprésentation des filles, etc):
p (F1 ) = 1/2
p (F2 ) = 1/2
p (S1 S2 ) = 0
Les hypothèses d'indépendance sont :
p (F2 | G1 ) = p (F2 )
p (F2 | F1 ) = p (F2 )
p (F2 | S1 ) = p (F2 )
J'introduis la probabilité $\alpha $ du choix de "Sophie" comme premier prénom féminin et la probabilité $\beta $ du choix de "Sophie" comme deuxième prénom féminin.
p (S1 | F1 ) = $\alpha $
p (S2 | G1 F2 ) = $\alpha $
p (S2 | F1 F2 \ S1 F2 ) = $\beta $
On a alors
p (S1 F1 ) / p (F1 ) = $\alpha $
p (S1 ) = $\alpha $ /2
p (S2 G1 F2 ) / p (G1 F2 ) = $\alpha $
p (S2 G1 ) = $\alpha $/4
p ( S2 (F1 F2 \ S1 F2) ) / p ( F1 F2 \ S1 F2) = $\beta $
p (S2 F1 \ S1 S2 ) = p (S2 F1 ) = $\beta $(1/4 - $\alpha $/4) = $\beta $/4 - ($\alpha\beta$)/4
p (S2 ) = p (S2 G1 U S2 F1 ) = $\alpha $/4 + $\beta $/4 - ($\alpha\beta $)/4
Finalement, la probabilité cherchée, h, qu'une famille de deux enfants dont une fille qui s'appelle Sophie ait deux filles est :
h = p ( F1 F2 | S1 U S2 ) = p ( S1 F2 U F1 S2 ) / p (S1 U S2 ) =
( $\alpha $/4+ $\beta $/4 - ($\alpha\beta $)/4) / ( $\alpha $/2+ $\alpha$/4 + $\beta $/4 - ($\alpha\beta $)/4
h = ($\alpha $ + $\beta $ - $\alpha\beta $) / (3$\alpha $ + $ \beta $ - $\alpha\beta $)
En faisant $\alpha $ = $\beta $ (on choisit le prénom "Sophie" avec la même fréquence pour la première fille que pour la seconde (avec un autre prénom pour la première, naturellement)) , on a h = (2 - $\alpha$)/(4 - $\alpha $). On voit que h varie de 1/3 ($\alpha $ = 1) à 1/2 ($\alpha $ proche de 0), ce qui confirme l'intuition :
Si $\alpha$ = 1, les familles équiprobables GG, GF, FG FF sont GG, GS, SG SF, d'où le 1/3.
Si $\alpha $ est proche de 0, les (peu nombreuses) familles GF qui sont des GS sont en même nombre que les familles FG qui sont des SG, alors que les familles FF qui sont des SF ou des FS sont deux fois plus nombreuses, d'où le 1/2.
Par ailleurs, si l'on revient au cas général, et qu'on fait $\alpha $ = 0, on a h = 1 (les "Sophie" sont une deuxième fille).
Enfin, si $\beta $ = 0, h = 1/3 (les GS, SG, SF restent dans les mêmes proportions que les GF, FG, FG, FF.
Quelqu'un aurait-il l'amabilité de vérifier la correction de mes calculs ? Merci d'avance.
Réponses
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Pour éviter de se faire des nœuds dans la tête à chaque fois que ce genre d'amusette est posée, le mieux à mon avis est de se poser la question magique "que se passe-t-il si je le fais un milliard de fois" ?
Par exemple imaginons que tu veuilles faire une simulation en R, mettons. Comment vas-tu t'y prendre ?Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
"Jean-jacques a deux enfants dont l'un est un garçon né un mardi, quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon?" Ai-je vu une fois.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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L'article de Delahaye est disponible ici : http://cristal.univ-lille.fr/~jdelahay/pls/134.pdf
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GG a écrit:Il me semble que cette dernière affirmation est dénuée de tout fondement. Il est pourtant clair que cette probabilité dépend essentiellement de la manière dont on choisit les prénoms, des coutumes et des traditions qui influencent, voire régissent ce genre de choix dans une société donnée.
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Cela me fait penser au paradoxe des anniversaires. On sait que la répartition des naissances sur l'année n'est pas uniforme et on s'en fout un peu en fait.Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
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GG a écrit:@Foys, manière polie de m'informer que mes calculs n'offrent aucun intérêt, et encore moins à être vérifiés ?
Ce n'est pas ce que je voulais dire (même s'il est vrai que j'ai du mal à lire mes calculs, encore plus ceux des autres). Je voulais souligner que toutes les difficultés de ce type d'exo sont dans les choix de modélisation à faire. Et le plus gros problème ici (à mon avis) ce n'est pas dans ces histoires de "il n'y a pas 50% de filles" (je trouve aussi que ce sont des détails insignifiants ici). Mais plutôt dans les hypothèses d'indépendance avec les prénoms.GG a écrit:Les hypothèses d'indépendance sont :
p (F2 | G1 ) = p (F2 )
p (F2 | F1 ) = p (F2 )
p (F2 | S1 ) = p (F2 )Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
On peut montrer que la distribution uniforme est celle qui maximise la probabilité que les jours d'anniversaire soient distincts. Donc le résultat obtenu pour la distribution uniforme est la probabilité "au pire" (bon, sans compter les 29 février).
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Personnellement j'obtiens le 1/2 annoncé par Delahaye avec la modélisation suivante.
Les sexes des enfants sont les éléments de $\{g,f\}$.
Les prénoms sont les éléments d'un ensemble dénombrable noté "$Pré$" dans la suite.
Soit $(\Omega,\mathcal A,P)$ le célèbre espace probabilisé (l'"univers") dont tout le monde parle mais que personne n'a jamais vu.
Soient $E_1,E_2:\Omega \to \{g,f\}$ et $A_1,A_2:\Omega \to Pré $ des variables aléatoires.
$E_1$ (resp $E_2$) désigne le sexe de l'ainé(e) (resp. du cadet ou de la cadette) et $A_1$ (resp. $A_2$) son prénom.
Soit $\sigma\in Pré$ (pour abréger "Sophie").
La modélisation consiste en les 5 hypothèses suivantes (n'hésitez pas à indiquer celles pour lesquelles vous êtes en désaccord):
H0) $P[(A_1=\sigma \cap E_1=f) \vee (A_2=\sigma \wedge E_2=f)] \neq 0$ (une fille peut s'appeler Sophie.).
H1) Pour tous $(i,j)\in \{g,f\}^2$, $P(E_1=i \wedge E_2 = j)=\frac{1}{4}$ (indépendance des sexes en négligeant les détails sur les "51%", jumeaux, ou autre)
H2) $P(A_1=A_2)=0$ (les enfants ont un prénom différent).
H3) $E_2$ est indépendant du couple $(E_1,A_1)$ (le sexe et le prénom de l'aîné n'ont pas d'influence sur le sexe du cadet).
H4) Pour tous $i,j \in \{g,f\}$, pour tous $\alpha,\beta \in Pré$, $P(A_1=\alpha\wedge A_2=\beta \mid E_1=i \wedge E_2=j)=P(A_2=\alpha\wedge A_1=\beta \mid E_2=i \wedge E_1=j)$ (hypothèse de symétrie disant que la distribution des prénoms reste la même pour les familles de deux enfants si on échange aîné et cadet).
0°) Soit $S$ l'événement "un des enfants est une fille et s'appelle Sophie." Soit $F$ l'événement "les deux enfants sont des filles". Formellement on a $F=\{E_1=E_2=f\}$, puis
$$\begin{align}S = & \{E_1=f \wedge E_2=f \wedge A_1=\sigma\} \cup \{E_1=f \wedge E_2=f \wedge A_2=\sigma\} \cup \\ & \{E_1=f \wedge E_2=g \wedge A_1=\sigma\} \cup \{E_1=g \wedge E_2=f \wedge A_2=\sigma\} \end{align}$$
Et enfin $$F \cap S = \{E_1=E_2=f \wedge A_1=\sigma\} \cup \{E_1=E_2=f \wedge A_2=\sigma\}$$.
On cherche à montrer que $P(S) \neq 0$ à calculer $P(F\mid S)=\frac{P(F \cap S)}{P(S)}$.
Pour $P(S)\neq0$ c'est clair: $P(S)=P[(A_1=\sigma \cap E_1=f) \vee (A_2=\sigma \wedge E_2=f)] $ et cela n'est que la reformulation de l'hypothèse H0).
1°) Il se trouve que tous les événements dont on a exprimé la réunion dans les définitions ci-dessus sont d'intersection de probabilité nulle (c'est une conséquence de H1 et H2); par suite les probabilités de ces événements pourront être calculées avec des sommes.
2°) $P(E_2=g)=P(E_2=f)=\frac{1}{2}$ par H1) et un calcul élémentaire.
3°) On a $P(E_1=f \wedge E_2 = g \wedge A_1 = \sigma)=P(E_1=f \wedge A_1 = \sigma)P(E_2=g)=
P(E_1=f \wedge A_1=\sigma)P(E_2=f)=P(E_1=E_2=f \wedge A_1=\sigma)$
par H3) et 2°) ci-dessus.
4°) Soient $(i,j)\in \{g,f\}$.
Par H4) on a
$$\begin {align}
P(E_1=i \wedge E_2=j \wedge A_1=\sigma) & = P(A_1=\sigma \mid E_1=i \wedge E_2 = j)P(E_1=i \wedge E_2= j) \\
& = P(A_1=\sigma \mid E_1=i \wedge E_2 = j)\times \frac{1}{4} \\
&= \frac{1}{4}\sum_{\tau \in Pré} P(A_1=\sigma\wedge A_2=\tau \mid E_1=i \wedge E_2 = j) \\
&= \frac{1}{4}\sum_{\tau \in Pré} P(A_1=\tau \wedge A_2=\sigma \mid E_1=i \wedge E_2 = j) \\
&= P(A_2=\sigma \mid E_1=j \wedge E_2 = i)\times \frac{1}{4} \\
&= P(A_2=\sigma \mid E_1=j \wedge E_2 = i)P(E_1=j \wedge E_2= i) \\
&= P(E_1 = j \wedge E_2 = i \wedge A_2 = \sigma ).
\end {align}$$
5°) Les résultats de calculs de 3°) et de 4°) montrent que les probabilités des événements élémentaires envisagés dans les définitions de 0°) sont toutes les mêmes, égales à un certain réel $x$. On en déduit aussitôt l'égalité $P(S)=2P(F \cap S)=4x$. D'où le résultat i.e:
$$P(F\mid S)=\frac{1}{2}$$.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
@Foys,
Ce n'est pas vrai car dans ton choix de modélisation , F2 ne veut pas dire "le deuxième enfant est une fille" mais "le deuxième enfant est une fille qui ne s'appelle pas Sophie".
voici pourtant ce que j'ai écrit :
Je choisis donc comme univers $\Omega $ = { g, s, f }2
g pour garçon, s pour Sophie, f pour fille prénommée autrement.
L'événement "le deuxième enfant est une fille" est F2 = { g, s, f } × { s, f }
même s'il est vrai que j'ai du mal à lire mes calculs, encore plus ceux des autres)
Mes calculs sont-ils donc si long à suivre ? :-) -
@Foys, ça fait beaucoup de calculs tout ça dis donc :)o
Ce que je propose c'est le modèle suivant de sélection des prénoms. Tous les parents disposent de deux urnes, une fille une garçon contenant des boules sur lesquelles sont inscrits les prénoms admissibles (en nombre fini). Les urnes et leur contenu sont les même pour tous les parents. Quand un enfant né on tire une boule de l'urne associée à son sexe et cela donne son nom. Une fois le prénom tiré on va retirer toutes les autres boules sur lesquelles est inscrit le même prénom (c'est H2).
Prenons l'urne des filles, disons qu'elle possède $n$ boules, que $s$ sont numérotées "sophie" et que $a$ sont numérotées "alice". En ayant deux filles la proba d'avoir alice en aînée et sophie en cadette est $\frac{a}{n}\frac{s}{n-a}$ alors que la proba d'avoir sophie en aînée et alice en cadette est $\frac{s}{n}\frac{a}{n-s}$. On voit que pour que l'hypothèse $H4$ soit vérifiée il faut et il suffit que tous les prénoms soient équiprobables.
Autre possibilité, on suppose que la probabilité de chaque prénom est tellement faible qu'on approxime $n-a$ et $n-s$ tout deux par $n$. Là on est plus du côté approximation, mais comme de toute façon la proba d'avoir une fille plutôt qu'un garçon n'est pas 1/2 on est plus à ça près. -
Il y a une discussion parallèle ici:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1614916,1642916#msg-1642916Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Après tout, ce ne serait pas plus simple de laisser s'exprimer CC dans tous les forums ? On n'est pas dans un État policier quand même ! :-)
-
Mojojojo: pour une variante simple de ton idée: on considère deux urnes contenant un nombre fini d'étiquettes avec des prénoms tous distincts, la première urne contenant des prénoms masculins, la deuxième des prénoms féminins dont Sophie, on donne une copie de chaque urne à chaque parent et les parents font des tirages de noms sans remise à chaque naissance.
Et on a notre modèle bourré de symétries et satisfaisant les ratios "suspects".Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
@GG d'accord. Je signale que dans le modèle indiqué dans le fil de Christophe, je n'ai pas $\alpha=\beta$ (mais $\alpha = \frac{1}{2}$ et $\beta = 1$), malgré le fait qu'il y ait autant de familles où il y a une aînée Sophie et que de familles où il y a une cadette Sophie (un quart et un quart).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
-
Bonjour,
@mojojojo
On peut contester qu'il existe une liste finie de prénoms, même en incluant tous ceux connus de pays exotiques. Il y a déjà un certain nombre d'années qu'en France la loi autorise à peu près tout en ce domaine aux parents.
Un extrait d'un article récent de la revue Parents :
"...fusions de prénoms, prénoms venus d’ailleurs ou encore inventions… les prénoms les plus récents offrent une palette très large"
Même si cela n'invalide pas fondamentalement la démarche, c'est une hypothèse sur laquelle on ne peut s'appuyer.
Amicalement. -
Pour un paradoxe plus simple à décortiquer (mais toujours déroutant) on peut prendre le "si dans une famille avec deux enfants, si l'un des enfants est un garçon né un mardi, quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon?"
En fait c'est très proche du coup des Sophies, et plus facile à modéliser. L'espace des possibles est simplement $\Omega:= \{0,1\}^2 \times \{1,2,3,4,5,6,7\}^2$ avec mesure de proba uniforme et on compte.
C'est-à-dire que si $k\in \{1,2,3,4,5,6,7\}$ $A_k:=\left \{(x_1,y_1,x_2,y_2) \in \Omega\mid \exists i \in \{1,2\}: (x_i,y_i)= (0,k)\right \}$ et $B_k:= \{(x_1,y_1,x_2,y_2) \in A_k \mid x_1=x_2 = 0\}$ alors on a $B_k=A_k \cap B_k$, $card (A_k)= 1+ 2 \times 13=27$ (il y a $(0,k,0,k)$, les éléments de la forme $(0,k,a,b)$ où $(a,b)\in \{0,1\}\times \{1,...,7\}\backslash \{(0,k)\}$ et ceux de la forme $(a',b',0,k)$ avec à nouveau $(a',b')\in \{0,1\}\times \{1,...,7\}\backslash \{(0,k)\}$)
et $card(B_k)=1+2\times 6 = 13$ (ses éléments sont $(0,k,0,k),(0,k,0,c),(0,c',0,k)$ avec $c,c' \in \{1,...,7\} \backslash \{k\}$).
Ainsi la probabilité conditionnelle cherchée est $$\frac{P(A_k\cap B_k)}{P(A_k)}= \frac{13}{27}$$
Et non pas un tiers malgré le fait que si $A':=\{(x,y,x',y') \mid x=0 \wedge x' = 0\}$ et $B'=\{(x,y,x',y') \mid x=x'=0\}$, on a bel et bien $\frac{P(A'\cap B')}{P(A')}= \frac{1}{3}$ (exo classique).
*******************
Il n'y a pas de paradoxe. On pourrait naïvement penser "oui mais les situations où un enfant est un garçon né un lundi, puis celles où un enfant est un garçon né un mardi puis etc jusqu'à dimanche... si on les regroupe?": En fait si on l'écrit on se rend compte qu'on n'est pas du tout dans le cadre de l'application de la formule de Bayes (les événements $A_k$ ne sont même pas disjoints: on peut avoir un garçon né un lundi et un garçon né un mardi dans la même famille, la probabilité n'est pas nulle).
C'est aussi pour ça que le conditionnement engendre tant d'erreurs: très vite on se laisse aller à commettre des raisonnements en prose vague au lieu d'appliquer des théorèmes.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
@Foys,
C'est $\alpha$ = $\beta$ = 1/7 dans mon modèle : h = (2 - $\alpha $) / (4 - $\alpha$) = 13/27.
Bien entendu, à nouveau, on fait l'impasse sur les jumeaux.
J'observe aussi que mon modèle s'applique également à la situation suivante :
J'ai une urne qui contient deux boule, G et F, et une urne qui contient n prénoms féminins dont un'"Sophie". Je tire deux fois avec remise dans la première. Si j'ai GF ou FG, je tire une fois dans la seconde, et si j'ai FF je tire sans remise deux fois dans la seconde.
C'est $\alpha$ = 1/n et $\beta$ = 1/(n -1), d'où h = ($\alpha $ + $\beta $ - $\alpha\beta $) / (3$\alpha $ + $ \beta $ - $\alpha\beta $) = 1/2. -
@Felix, Bien sûr que si, le nombre de prénoms est fini... Si tu admets qu'un prénom est composé de moins de $10^{100}$ caractères et comme notre alphabet est fini le nombre de prénoms est fini.
@foys : Si je comprend bien ce que tu proposes est exactement ce que j'ai dis pour les urnes. Avoir des prénoms équiprobables c'est pareil que d'avoir des prénoms distincts. Bon, ce modèle fait quand même l'hypothèse que les prénoms sont équiprobables, ce qui est faux dans la réalité. On peut sans doute imaginer des modèles plus proches de la réalité (non équiprobabilités les prénoms) mais toujours avec $H4$.
En voici un exemple (toujours un peu farfelu) : Les parents savent à l'avance le sexe des enfants qu'ils vont avoir. S'il vont avoir deux filles ils choisissent un couple de prénoms (de filles) distincts puis tirent à pile ou face pour savoir si le premier prénom ira à l’aînée ou à la cadette. Ils font de même pour deux garçons et s'ils ont une fille et un garçon ils choisissent au hasard un prénom de fille et un prénom de garçon. De cette façon on a toujours H4 et H2.
On est toujours assez loin de la réalité puisque, sauf dans le cas de jumeaux, on ne sais pas à l'avance le sexe de ses deux premiers enfants. Je pense qu'on peut trouver des modèles vérifiant H4 et moins "farfelus", plus proches de la réalité que les deux que j'ai proposés. Deux choses cependant :
-A vrai dire je ne sais pas comment font les parents pour choisir le prénom de leurs enfants dans la vraie vie !
-Ton hypothèse de symétrie me semble être là bonne et c'est plutôt là qu'est le débat d'hypothèses à mon avis, pas vraiment dans le choix du modèle qui va réaliser H4.
@GG : vu ce qu'il se passe dans cette "discussion" parallèle je suis bien content qu'on ne laisse pas CC intervenir ici. C'est vraiment du CC tout craché : des affirmations péremptoires non prouvées (et fausse qui plus est) dans des messages à rallonge et dans le style qu'on lui connait bien. Visiblement il ne lit toujours pas les autres et quand il finit par le faire et qu'il se rend compte de son erreur et on peut alors admirer son retournement de veste (mais toujours dans des messages à rallonge) et le voir repomper ce qui est écrit ici. Je laisse chacun juge de son habilité ou non au dit mouvement.
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