Anneau commutatif fini

Namiswan

Bonjour,

Je me demandais si un anneau commutatif fini est nécessairement isomorphe á un produit de corps $F_{q_1}\times\cdots\times F_{q_k}$ (muni de l'addition et multiplication coordonnée par coordonnée)

GaBuZoMeu

Non. Il serait difficile de faire de $\mathbb Z/4\mathbb Z$ un produit de corps.

Namiswan

Hum, je suis bête. En effet...Si on suppose qu'il n'y a pas de nilpotent, peut être...

Merci pour la réponse en tout cas

GaBuZoMeu

Oui, un anneau commutatif fini réduit est un produit de corps.

Maxtimax

Plus généralement, un anneau commutatif est un produit sous-direct de corps si et seulement s'il est réduit. C'est la même preuve, seulement dans le cas fini on peut s'arranger pour montrer (par récurrence par exemple) que que c'est un isomorphisme avec le produit en question

moduloP

Salut GBZM et max,

Est-ce que l'on peut avoir une idée de la preuve dans le cas fini ?
Merci

GaBuZoMeu

Commence par voir que tout idéal premier d'un anneau commutatif fini est maximal.

Maxtimax

Par récurrence : les idéaux premiers ($\iff$ maximaux puisque l'anneau est fini) sont comaximaux, et en fait chaque idéal premier est comaximal avec l'intersection des autres idéaux premiers (où par convention l'intersection vide est l'anneau tout entier). Donc on peut appliquer le théorème des restes chinois. D'un côté on aura l'anneau quotienté par l'intersection de tous les idéaux premiers (donc $0$ car l'anneau est réduit); de l'autre on aura un anneau intègre fini (donc un corps) fois un anneau qui sera toujours réduit en tant que quotient d'un anneau réduit par une intersection d'idéaux premiers

EDIT : Oups je suis allé un peu plus loin dans mon indication que GBZM...

moduloP

Merci beaucoup, ok j'ai compris.