Itô pour EDS

Krokop

On considère l'équation différentielle stochastique suivante. $$
X_t=x+\int_0^t \sqrt{1+X_s^2}dB_s+\frac{1}{2}\int_0^t X_sds,\qquad (*)
$$ où $x\in\Bbb{R}$ et $\{B_t, t\ge 0\}$ est un mouvement brownien standard qui commence à $t=0$

On sait qu'il existe une unique solution, par la formule d'Itô on peut la résoudre et trouver $$X_t=e^{t/2}\bigl(x+\int_{o}^te^{s/2}\sqrt{1+s^2}dB_s\bigr). \qquad (1)
$$ Maintenant on considère deux mouvements brownien réels issus de $0\ \{\beta_t\mid t\ge 0\}$ et $\{\gamma_t\mid t\ge 0\}$
J'aimerais montrer que $$Y_t=\exp(\beta_t)\bigl(x+\int_0^t \exp(-\beta_s)d\gamma_s \bigr)$$ est solution de l'EDS $(*)$ pour un certain mouvement brownien $B.$

J'avoue ne pas trop voir comment faire, quand on regarde la solution $(1)$ on a envie d'utiliser l'autosimilarité du mouvement brownien i.e. $B(at)\overset{d}=a^{1/2}B(t)$ pour tout $a>0.$
Ce qui me gène c'est le mouvement brownien $\beta_t.$

Chalk

Juste pour confirmer, tu es sûr de ta résolution de l'EDS ?

Krokop

Ah oui bien vu, j'aurais du écrire les choses.

On a $dX_t=\sqrt{1+X_t^2}dB_t+\frac{1}{2}X_tdt$ et moi j'ai pensé $\sqrt{1+t^2}$... ça change tout ! Merci !

EDIT: on fait le changement de variable $Z_t=\arg \sinh(X_t)$ et l'EDS a pour solution $$ X_t=\sinh(\arg \sinh x +B_t).
$$ Reste à montrer que $Y_t$ est bien solution. Je vais réfléchir.