Formule de Parseval

Harastieu

Bonjour,

J'ai une question sur un exercice portant sur les séries de Fourier où je bloque...

Ma fonction est impaire, 4-périodique telle que$ f(t) = \left\{
\begin{array}{ll}
t \hspace{0.1cm} sur \hspace{0.1cm} [0;1[ \\
-t+2 \hspace{0.1cm} sur \hspace{0.1cm}[1;2]\\
\end{array}
\right.
$
Ma fonction étant impaire $a_{0}$ et $a_{n}$ sont nulles et j'ai $b_{n}=\frac{8}{n^{2}\pi^{2}}sin(\frac{n\pi}{2})$ et $b_{2p}=0$ ainsi que
$b_{2p+1}=\frac{8}{(2p+1)^{2}\pi^{2}}(-1)^{p}$

On ma demandé de calculer : $\sum_{p=0}^{+\infty} (\frac{1}{(2p+1)^2})^{2}$ j'ai trouvé : $\frac{\pi^{2}}{8}$

Puis la question où je bloque, c'est d'utiliser la formule de Parseval pour déterminer la valeur efficace $f_{e}$ de $f$ et en déduire la valeur de la somme $\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{1}{(2p+1)^4}$


J'ai réussi à développer jusqu'à $f_{e} = \frac{32}{\pi^{4}}*\sum_{p=1}^{+\infty} ((-1)^{p} \frac{1}{(2p+1)^2})^{2}$
mais je bloque ensuite, je ne vois pas comment partir..

Quelqu'un pourrait t-il m'aider ?

Merci d'avance !

Cordialement,

Matthieu


PS : on a la formule de Parseval suivante : $f^{2}_{eff}=a^{2}_{0}+\frac{1}{2}\sum_{p=1}^{+\infty} (a^{2}_{n}+b^{2}_{n})$

Math Coss

Il y a une erreur quelque part mais ça doit être une simple faute de frappe : la première somme que tu calcules doit être $\sum_{p\ge0}\frac{1}{(2p+1)^2}$ et pas $\sum_{p\ge0}\frac{1}{(2p+1)^4}$, n'est-ce pas ?

Dans ta dernière expression de $f_e$, tu vois que $(-1)^p$ disparaît et cette fois, c'est bien $\sum_{p\ge0}\frac{1}{(2p+1)^4}$ que l'on doit calculer.

Tu peux par ailleurs calculer la valeur efficace par un calcul direct d'intégrale. Vu la tête de la fonction, tu vas trouver un rationnel. En rapprochant ce nouveau résultat de celui que tu as déjà, tu obtiens une valeur pour la somme des $1/(2p+1)^4$ (un rationnel multiplié par $\pi^4$, c'est la bonne forme).

Harastieu

Bonjour !

Donc je suis censé trouver $\displaystyle f_{e} = \frac{32}{\pi^{4}}\,\sum_{p=1}^{+\infty}
\frac{1}{(2p+1)^4}$ ? ça me semble étrange non ?

Math Coss

Oui : on trouve d'une part ce que tu viens d'écrire, d'autre part un rationnel grâce à un calcul d'intégrale (pas de Fourier). En rapprochant les deux, on en déduit la valeur de $\sum_{p\ge0}\frac{1}{(2p+1)^4}$.

Harastieu

Quel serait ce calcul d'intégrale ?

Math Coss

C'est quoi, la valeur efficace $f_e$ ? Ce n'est pas une intégrale ?
C'est vraiment du même genre que ce que tu as déjà fait pour $\sum_{p\ge0}\frac{1}{(2p+1)^2}$ : tu calcules une quantité ($f(1)$ peut-être ?) de deux façons, une fois avec la série de Fourier, une fois directement.

Harastieu

Pour calculer ma première somme, j'ai tout simplement transformé la somme $\sum_{p\ge0}\frac{1}{p^2}$
donc j'ai pas utilisé d'intégrale sur cette question, sauf pour calculer ma série de Fourier pour le coefficient $b_{n}$.

J'apprend un peu tout seul la notion de série de Fourier c'est pour cela que j'ai quelques lacunes, je ne comprend donc pas quelle intégrale calculer ...

Poirot

La valeur efficace de $f$ c'est sa norme $L^2$ : à une constante près c'est $$\left(\int_0^4 |f(t)|^2 \,dt\right)^{1/2}.$$

Harastieu

Avec $f(t)=$ mon coefficient bn ? donc je le met au carré ce qui me fait calculer l'intégrale de $\frac{1}{(2p+1)^4}$ entre 0 et 4 ?

Poirot

Mais enfin, on parle de la valeur efficace de la fonction $f$, je mets une lettre $f$ sous l'intégrale, tu ne vois pas le rapport ? Pourquoi est-ce qu'il s'agirait de $b_n$ (avec un $n$ non spécifié) ?

Harastieu

Le problème c'est que l'expression de mon $f(t)$ est assez complexe et je ne vois pas comment calculer cette intégrale...

Poirot

Elle n'est pas si complexe que ça, surtout si tu connais la relation de Chasles ! Peut-être que $$\int_{-2}^2 |f(t)|^2 \,dtt$$ te semblera plus simple à calculer.

Math Coss

La fonction $f^2$ est paire dont l'intégrale sur $[0,4]$ vaut deux fois l'intégrale sur $[0,2]$, laquelle est la somme de l'intégrale sur $[0,1]$ et de l'intégrale sur $[1,2]$. Sur $[0,1]$, $f(t)=t$ ; sur $[0,2]$, $f(t)=2-t$. Qu'y a-t-il de compliqué ?

Harastieu

donc $f^{2}=2(\int_0^1 t \hspace{0.1cm} dt + \int_1^2 2-t \hspace{0.1cm} dt)$ et cette intégrale vaut 2 donc ?

Poirot

Réfléchis un peu à ce que tu es en train d'écrire, ça n'a aucun sens et c'est grossièrement faux.

Harastieu

Je suis perdu la ...

Math Coss

Faute de frappe ? Ce n'est pas $f^2$ mais $f_e$ que tu cherches : voulais-tu écrire $f_e^2$ ?

Il y a de l'intégrale du carré qui traîne là-dedans donc il te faut calculer $\displaystyle\int_0^1t^2\mathrm{d}t+\int_1^2(2-t)^2\mathrm{d}t$.
Enfin, il y a des constantes qui traînent là-dedans : $\dfrac{4}{2\pi}$ ou l'inverse.

Harastieu

Oui pardon pour la faute de frappe c'est bien $f^{2}_{e}$

donc en calculant cette intégrale on sort $\frac{2}{3}$ qui serait ma valeur efficace et si je multiplie ce dernier par le résultat de ma première somme au carré, j'obtiens donc $\dfrac{\pi^4}{96}$ ce qui est normalement le résultat de $\ \displaystyle\sum_{p=0}^{\infty} \Big(\frac{1}{2p+1}\Big)^4.$
C'est ça ?

Poirot

Le résultat est cohérent oui :-)

Harastieu

Merci beaucoup !

Bonne journée !