Indépendance de variables aléatoires

Reï-Vi-Lhô

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème concernant l'indépendance de variables aléatoires : si on considère deux variables aléatoires $X_{1}$ et $X_{2}$ indépendantes, ayant la même loi de probabilité : $\frac{\varepsilon{1}+\varepsilon{-1}}{2}$ (où $\varepsilon_{a}$ désigne la mesure de Dirac associée à $a$) , que l'on note $X_{3}=X_{1}X_{2}$, il paraît que $X_{1},X_{2}$ et $X_{3}$ sont deux à deux indépendantes. Mon problème est de montrer que $X_{1}$ et $X_{3}$ sont indépendantes (car $X_{1}$ et $X_{2}$ jouant des rôles symétriques, il en sera de même pour $X_{2}$ et $X_{3}$).
Je considère donc deux nombres réels $x$ et $y$, et je cherche à montrer que :
$P(X_{1}\leq x,X_{1}.X_{2}\leq y)=P(X_{1}\leq x).P(X_{1}.X_{2}\leq y)$.
Et là, je bloque, alors que je suis persuadé que c'est évident... si quelqu'un a une idée...

Merci d'avance.

Amicalement.
Olivier.

corentin0

Tu ne tiens pas compte du fait que tes variables sont discrètes.
Au lieu d'écrire des inégalités, il suffit de se borner à vérifier l'indépendance sur $P(X_1 =1, X_1 X_2 =1)$, $P(X_1 =-1, X_1 X_2 =1)$ etc...
Les calculs dans ce cas là sont faciles.

Reï-Vi-Lhô

Merci beaucoup Corentin... c'était effectivement très simple, honte sur moi !

Amicalement.
Olivier.

Vianney

$\dfrac{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{-1}}{2}$