Antécédent par transformée de Laplace.

dedekind93

Bonjour à tous.
Existe-t-il une classe de fonctions $\mathcal{E}$ définies sur $\mathbb{R}_+^*$ (par exemple de classe $\mathcal{C}^\infty$ ayant telle ou telle propriété de décroissance) pour laquelle on pourrait dire que si $F$ est donnée dans $\mathcal{E}$ alors il existe $f$ continue bornée sur $\mathbb{R}_+$ telle que $F$ soit la transformée de Laplace (unilatère) de $f$ ... sans que cela ne nécessite un recours aux fonctions holomorphes ?! Donc en gros une condition suffisante d'existence d'antécédent pour la transformée de Laplace, qui soit "facilement" démontrable ? Par exemple, $s\mapsto\displaystyle\dfrac{1}{s+\ln(1+\sqrt s)}$ est-elle la transformée de Laplace d'une fonction continue bornée sur $\mathbb{R}_+$ ?
Merci de vos idées ou références !

aléa

On trouve le théorème suivant dans notre livre, de l'Intégration aux probabilités:

dedekind93

Merci aléa pour ta référence, je ne connaissais pas ce résultat !