Fonction de Lyapounov edo vectorielle

Bonjour à tous
Je cherche éventuellement une fonction de Lyapounov $U$ au sens strict au voisinage de (1,1), point stationnaire de l'edo autonome vectorielle suivante : $$
y'(t) = F(y(t)),\quad\text{ où }\ F \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_2 - y_1^3 \\ y_1- y_2^3 \end{pmatrix} ;
$$ afin de montrer que $ A = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $ est un point d'équilibre asymptotiquement stable, c'est-à-dire que pour toute solution $y$ de condition initiale suffisamment proche de $A$, on a $ \lim\limits_{t\to +\infty} y(t) = A $.

À noter que j'ai déjà obtenu ce résultat en remarquant que la matrice du système linéarisé en $A$ qui est $JacF(A) = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -3 \\ \end{pmatrix} $ est diagonalisable de valeurs propres strictement négatives.

Mais je cherche à le montrer maintenant via une fonction de Lyapounov stricte. Mais après plusieurs essais infructueux pour $U$, avec des polynômes, des polynômes trigonométriques ... Je me dis que je cherche peut-être quelque chose qui n'existe pas, et pire, je ne sais pas comment savoir si ce que je cherche existe ou pas ! Alors y a-t-il un critère pour savoir si une telle fonction $U$ existe ? D'ailleurs en existe-t-il toujours dès lors qu'un point d'équilibre est asymptotiquement stable ?

Pour être sûr de se comprendre, ce que j'appelle une fonction de Lyapounov au sens strict au voisinage de $A$ est une fonction $U$ de $V$ un voisinage de $A$ dans $\mathbb{R}$ vérifiant :
1) $U$ est strictement positive sur $V$
2) $dU(y(t))\big(F(y(t))\big) \le 0$ pour toute solution y(t)

Merci.
LL

Réponses

  • Le carré de la distance euclidienne à $A$ ne marche pas ?

    Edit : ta formulation des conditions 1) et 2) me semble laisser à désirer.
  • Oui ok ça marche pas bête.

    Si je note $D_A$ le carré de la distance euclidienne à $A$ et $f_A(x,y) = dD_A(x,y)(F(x,y))$, je trouve que $f_A(A) = 0$, que la Jacobienne de $f_A$ est nulle en $A$ puis que sa Hessienne en $A$ est $\begin{pmatrix} -12 & 4 \\ 4 & -12 \end{pmatrix}$ qui a deux valeurs propres strictement négatives donc au voisinage de $A$ on a $f_A < 0$.
    Un coup de Scilab me confirme.

    Mais alors ok je retiens qu'on peut essayer cette fonction merci GabuZomeu mais imaginons que ça ne marche pas. Y a-t-il alors d'autres choses à essayer en général ?

    En fait j'ai l'impression que ce qui permet d'aboutir ici c'est que la matrice de la linéarisée de $F$ en $A$ est symétrique définie négative car en essayant avec d'autres fonctions $F$ parfois ça ne marche pas.
    Merci LL.
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