Intégrabilité d'une fonction

Bonjour
Je souhaiterais montrer que pour $a > 0$ la fonction $f(t) = \exp(at)t^{-t}$ est intégrable sur $[0 ; + \infty [ $

Pas de problème en 0 puisque $ \lim\limits_{t \to 0} f(t) = 1 $, mais je n'arrive pas à m'en sortir en $+ \infty$.

Intuitivement je vois bien que $t(a - \ln t)$ va se comporter comme $(-t\ln t)$ en $+ \infty $ et je voudrais donc dire qu'alors $ f(t) = \exp( t(a - \ln t) ) $ se comporte comme $\exp( -t\ln t ) = t^{-t} \le t^{-2}$ pour $t$ suffisamment grand qui est intégrable.
Mais ceci est faux car on ne peut pas passer l'équivalent en exponentielle comme ça.
SI vous aviez une autre idée à me suggérer.
Merci d'avance.

Réponses

  • Au lieu d'utiliser des équivalents, utilise simplement des majorations. La quantité $(a-\log t)$ tend vers $-\infty$ quand $t$ tend vers $+\infty$, donc pour $t$ suffisamment grand, on a $(a-\log t) \leq -1$ et donc $\exp(at)t^{-t} \leq \exp(-t)$.
  • Ah oui je suis stupide c'est si simple en fait ! Merci Poirot !!!
  • On a $exp(at)t^{2-t}=exp(at+(2-t)ln(t))\to 0$ quand $t\to+\infty$. En particulier, pour $t$ suffisament grand, ce truc là est $\leq 1$, et donc pour $t$ suffisament grand $f(t)\leq t^{-2}$.

    Edit: Grillé !
  • Tu n'es pas stupide ;-) Il faut juste se rendre compte que, très souvent, donner une majoration est très simple, alors que trouver un équivalent peut être bien plus embêtant (ça demande plus "d'informations" !). Aussi, les majorations suffisent généralement pour ce genre de problèmes.
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