Inégalité

johnsmoke

Bonjour

Soit X un espace de probabilité et $f$ une fonction strictement positive intégrable telle que $\ln(f)$ soit intégrable. Montrer que :

$ \lim \int \frac{f^p - 1}{p} = \int \ln f $, quand $p$ tend vers 0.

On a montré au préalable l'inégalité :

$\forall x \in ] 0 , + \infty [,\ \forall p \in ]0 ;1 [,\ \frac{| x^p - 1 |}{p} \le x +|\ln x|$

Ce que j'arrive à obtenir pour l'instant c'est une majoration de la limite par $ ( \int \ln f ) + 1$, mais ça ne me sert pas à grand chose.
C'est énervant car je sens qu'il suffit d'appliquer l’inégalité correctement, mais je n'y arrive pas. Auriez-vous des idées pour me débloquer ???
Merci d'avance.

Math Coss

Est-ce que l'inégalité n'aurait pas pour seul rôle de montrer que l'on peut appliquer le théorème de convergence dominée ?

Math Coss

Doublon. Puisqu'on est (provisoirement sans doute) dans le forum $\rm\LaTeX$, voici comment on peut écrire\[\lim_{p\to0^+}\int_X\frac{f^p-1}{p}\mathrm{d}\mu=\int_X\ln(f)\mathrm{d}\mu\]en le centrant bien :

\[\lim_{p\to0^+}\int_X\frac{f^p-1}{p}\mathrm{d}\mu=\int_X\ln(f)\mathrm{d}\mu:\]

johnsmoke

Oh oui merci beaucoup !!! Des fois on s'entête dans une direction alors que la réponse est ailleurs ! Merci je suis débloqué.

johnsmoke

Alors juste pour préciser est-ce que puisque :

$p\ln(f) = \ln(f^p) = \ln( 1 + (f^p - 1) ) \underset{0}{\sim} f^p - 1 $

on peut dire tel quel que $\lim_{p\to0} \frac{f^p-1}{p} = \ln f $ ??


Merci d'avance

Math Coss

La conclusion est OK. Ce que j'aimerais te voir détailler, c'est l'équivalent. Autrement dit, pourquoi est-ce que $f^p-1$ tend vers $0$ ?

johnsmoke

f étant strictement positive, on a $ \lim_{p\to0} f^p = 1 $ donc $ \lim_{p\to0} f^p - 1= 0 $ ???

Math Coss

Soit. Tu peux justifier plus en détail pourquoi la limite de $f^p$ vaut $1$ (c'est-à-dire pourquoi $f(x)^p$ tend vers $1$ pour tout $x$) ?

[Même si ça a l'air trivial, tout s'explique à la fin...]

johnsmoke

Soit $a > 0$. Considérons la fonction $x \rightarrow a^x = \exp( x\ln a ) $. Quand $x \rightarrow 0, x\ln a \rightarrow 0$ donc $a^x = \exp(x\ln a) \rightarrow 1$ par continuité de l'exponentielle ?

johnsmoke

Du coup j'enquille sur la question d'après :

Montrer que $ lim_{p\to0}|| f ||p = \exp(\int_{X} \ln f )$

J'aimerais utiliser l'inégalité de Jensen car :

$|| f ||p =( \int_{X} f^p d\mu)^{1/p}= (\int_{X} \exp( p\ln f )d\mu)^{1/p}$

Et du coup si on peut sortir le exp de l'intégrale ...

Math Coss

OK. Enfin l'exponentielle ! Et donc, tu peux sans doute donner un équivalent simple de $\mathrm{e}^{p\ln f(x)}-1$, sachant que $p\ln f(x)$ tend vers $0$ ?

Ça me paraît moins tortueux (et plus complet) que $p\ln f=\ln(1+f^p-1)$.

johnsmoke

Ok je vois donc en fait on a :

$f^p - 1= e^{ p\ln f } - 1 \underset{0}{\sim} p\ln f $

ce qui est effectivement plus simple et complet !!! Merci

johnsmoke

Je reviens sur la deuxième question. On peut appliquer Jensen car exp est convexe donc :

$ || f ||p = ( \int_{X} \exp \ln f ^p )^{1/p} \le (\exp( \int_{X} p\ln f ))^{1/p} = \exp(\int_{X} \ln f )$

Si maintenant je peux montrer que $ || f ||p \ge \exp(\int_{X} \ln f )$ ...

Math Coss

C'est OK jusque là mais je ne vois pas comment continuer.

La question est en fait toute simple compte tenu de ce que l'on a déjà vu : il s'agit de déterminer le comportement de $\int_Xf^p\mathrm{d}\mu$, quand on vient de découvrir celui de $\int_X\frac{f^p-1}p\mathrm{d}\mu$. Le pas à franchir n'est pas si grand et là, tu pourrais écrire un truc du genre de ton point de départ plus haut [f^p=1+p\frac{f^p-1}{p}.\](Au fait, tu te rappelles ce que vaut $\int_X1\mathrm{d}\mu$ ?

BobbyJoe

Il est plus facile dans un premier temps de supposer que $X$ est de mesure finie (et que même la mesure en jeu est une mesure de proba : ce qui est la cas de ton énoncé ^^ ).
Ensuite, il faut procéder par sigma-additivité (au prix de quelques constantes qui vont s'éliminer dans le passage à la limite)...
Bref, l'idée est de faire un DL de l'intégrande en $p$ mais suffisamment uniforme pour pouvoir intégrer les restes (sans problèmes éventuels de mesurabilité/intégrabilité).
Voici l'idée formelle (à toi de la rendre rigoureuse!).
$$\mbox{On a : } \|f\|_{p}= \exp \left( \frac{1}{p}\ln \left( \int_{X}\vert f \vert ^{p}d\mu \right) \right).$$
\begin{align*}
\mbox{Or, } \int_{X}\vert f \vert ^{p}d\mu & = \int_{X}\exp(p\ln(\vert f \vert))d\mu\\
& = \int_{X} \left(1+p\ln(\vert f \vert)+o(p)\right) d\mu\\
& = 1 + p\int_{X}\ln(\vert f\vert)d\mu + o(p).\\
\mbox{Ainsi, } \frac{1}{p}\ln \left( \int_{X}\vert f \vert ^{p})d\mu \right) & = \frac{1}{p}\ln(1 + p\int_{X}\ln(\vert f \vert)d\mu + o(p))\\
& = \int_{X}\ln(\vert f\vert) d\mu +o(1).\\
\mbox{Et par continuité de exp, } \lim_{p\rightarrow 0^{+}} \|f\|_{p} & =\exp\left( \int_{X}\ln(\vert f\vert) d\mu \right).
\end{align*}

Voilà, bonne chance!

johnsmoke

Yes,

$ \int_{X} f^p = \int_{X}1 + p\int_{X} \frac{f^p - 1}{p} = 1 + p\int_{X}\frac{f^p-1}{1}\underset{0}{\sim} \exp(p\int_{X} \frac{f^p-1}{p} )\underset{0}{\sim} \exp( p\int_{X}\ln f )$

car

$p\int_{X} \frac{f^p - 1}{p} \underset{p\to 0}{ \longrightarrow} 0 $

puisque

$\int_{X}\frac{f^p -1}{p} \underset{p\to 0}{ \longrightarrow} \int_{X}\ln f < +\infty $ par hypothese.

d'où :

$|| f ||p =( \int_{X} f^p )^{1/p} \underset{0}{ \sim} (\exp(p\int_{X}\frac{f^p-1}{p}))^{1/p} \underset{0}{\sim} \exp( \int_{X}\ln f )$

Ok Bobby j'ai vu ton message c'est la même idée merci aussi.

Je te remerçie beaucoup math coss pour ton aide ça m'a bien aidé et appris.

A très bientôt

( Faut-il mettre le sujet en résolu ? où ? )

Math Coss

Tatata ! Ce n'est pas résolu !
En effet, l'équivalent
\[ 1 + p\int_{X}\frac{f^p-1}{1}\underset{0}{\sim} \exp(p\int_{X} \frac{f^p-1}{p} )\]
n'est pas faux mais il ne peut pas permettre de conclure : il dit juste que les deux membres tendent vers $1$, ce qui n'est pas suffisant.

Il y a une erreur dans la suite : si tu as deux fonctions $g(p)$ et $h(p)$ qui sont équivalentes lorsque $p$ tend vers $0$, il est faux en général que $g(p)^{1/p}$ et $h(p)^{1/p}$ sont équivalentes ! Prenons par exemple $g(p)=1$ et $h(p)=1+p$, on a : $g(p)^{1/p}=1$ et $h(p)^{1/p}=(1+p)^{1/p}=\exp\frac{\ln(1+p)}{p}=\exp\big(1+o(1)\big)\sim\mathrm{e}$.

Bref : il faut revoir l'argument – tout est là mais la mise en place n'est pas correcte.

johnsmoke

Mince !!

Bon on a :

$|| f ||p = \exp( \frac{1}{p}\ln (\int_{X}f^p)) $

On a aussi :

$ \frac{1}{p}\ln(\int_{X}f^p) = \frac{1}{p}\ln (\int_{X}1 + p\int_{X}\frac{f^p-1}{p}) = \frac{1}{p}\ln ( 1 + p\int_{X}\frac{f^p-1}{p}) $

Puisque

$ 1 + p\int_{X}\frac{f^p-1}{p} \underset{p\to 0}{\longrightarrow} 0 $

on a d'après la première question :

$ \frac{1}{p}\ln ( 1 + p\int_{X}\frac{f^p-1}{p}) \underset{p\to 0}{\longrightarrow} \int_{X} \ln f $

Alors par continuité de l'exponentielle ( et la j'espère que c'est bon !! ) :

$ lim_{p\to 0} ||f||p = exp(\int_{X} \ln f ) $

Ok pour l'exemple de ne pas pouvoir passer les équivalents en puissance c'est instructif merci.

J'attends le verdict pour moi c'est bon !

Merci

Math Coss

Là, ça me va. Une toute petite remarque : pour dire que $1 + p\int_{X}\frac{f^p-1}{p} \underset{p\to 0}{\longrightarrow} 0$, on utilise déjà le fait que l'intégrale a une limite finie, c'est-à-dire le résultat de la « première question » invoqué juste en-dessous.

Une autre remarque : la méthode BobbyJoe fonctionne aussi, elle est plus naturelle à certains égards si on part de zéro (mais pas dans l'esprit du présent énoncé), mais elle est un peu plus délicate à mettre en œuvre parce qu'il y a un développement limité en chaque point $x$ de $X$ et il faut donc expliciter une majoration du « $o(p)$ » pour faire apparaître quelque chose que l'on peut intégrer. Pour justifier qu'il y a une difficulté, prenons $X=\left]0,1\right]$, $g(x,p)=\frac{p^2}{x}$ : on a bien $g(x,p)=o(p)$ pour tout $x$ mais on ne peut pas intégrer.

johnsmoke

Merci pour votre aide j'ai pu terminer ce long exercice, mais en rédigeant au propre je me suis aperçu que mon raisonnement à la toute première question était faux ...

$ (X,T,\mu) $ un espace de probabilité, f positive intégrable : Montrer que si $\mu (f > 0 )< 1$, alors $|| f ||_p \underset{p\to 0}{\longrightarrow} 0$.

Je précise qu'il est interdit d'utiliser le théorème de convergence dominée, et qu'il est demandé d'utiliser l'inégalité de Hölder.

Moi je fais pour $p \in ]0:1[$ par Hölder : $(\int_{X}f^p) = \int_{X}f^p1^{1-p} \le (\int_{X}f)^p(\int_{X}1)^{1-p}=(\int_{X}f)^p $

et donc $ || f ||_{p} \le || f ||_{1} $ mais ça ne m'avance pas !!!

En fait je vois bien que si $ \mu(f > 0) < 1 $, on a $ \mu( f > 0 )^{\frac{1}{p}} \underset{p\to 0}{\longrightarrow} 0 $. Donc comme $f^p \underset{p\to 0}{\longrightarrow} 1_{f>0}$ et que $f^p$ est dominée par $max(1,f)$ intégrable sur $X$, le théorème de convergence dominée .... mais pas le droit de l'utiliser !!

Une autre idée serait d'une grande aide.

Merci d'avance

Math Coss

Je ne suis pas sûr que tes exposants soient corrects.
Au lieu de $g=1$, tu pourrais prendre pour $g$ l'indicatrice de $\{x\in X, f(x)>0\}$ sans perte. Tu aurais ainsi, en facteur de ta norme pas intéressante, une puissance de $\mu(\{f>0\})$ qui tend peut-être vers $0$ avec $p$ ?

johnsmoke

Oui mon inégalité est bonne , peux-tu me dire où est l'erreure sinon ?

BobbyJoe

Remarque $f=f\mathbf{1}_{\{f >0\}}.$
Applique l'inégalité d'Hölder, pour avoir pour $p\ll1$ $$\int_{X}f^{p}d\mu \leq \left( \mu(\{f>0\}) \right)^{1-p}\left( \int_{X}fd\mu \right)^{p}.$$
Il te reste à conclure!

johnsmoke

Oui merci à tous c'est cool !

A plus