Un petit jeu avec des polygones

On commence pas tracer un triangle équilatéral.
On trace ensuite son cercle circonscrit.
On trace ensuite un carré dont les côtés sont tangents au cercle précédent.
On trace ensuite le cercle circonscrit au carré précédent.
On trace ensuite un pentagone régulier dont les côtés sont tangents au cercle précédent.

Bref, vous avez compris.

Question : les dimensions des polygones réguliers successifs tendent-elles vers l'infini ?

Réponses

  • Bonsoir Magnétothorax,

    De quelles dimensions des polygones veux-tu parler ?
    Une question serait de savoir si le cercle circonscrit gonfle jusqu'à l'infini ou bien s'il a une limite finie.

    Soit $R_n$ le cercle circonscrit au polygone régulier à $n$ côtés.
    Posons $R_3=1$
    Alors $R_4= \sqrt 2$ et $R_5=\dfrac{\sqrt 2}{\cos\frac \pi 5}$
    et on a $R_{n+1}=\dfrac {R_n}{\cos \frac\pi {n+1}}$

    Cette suite converge-t-elle ? Vers quelle limite ?
  • Ah ! Bon, alors la suite converge : produit infini, série des logarithmes, DL, convergence absolue, gnagna...

    Edit : dessins.73566
  • Bonjour Math Coss,
    Merci pour tes réflexions et ce joli dessin !
    Sans rien écrire, il y aurait presque de la série de Bâle dans le développement logarithmique d'ordre 2 en $(\frac \pi n)^2$. Je suis convaincu de la convergence. Quant à la limite, on saura peut-être la majorer.
    Attendons le retour de Magnétothorax.
    Amicalement. jacquot
  • Dimension = rayon.

    Mais ça pourrait être le diamètre, le côté, le périmètre, la surface etc.

    Disons le rayon.
  • Si le rayon converge, tout le reste suit. Math Coss nous donne un plan d'action. Maintenant, il faut retrousser les manches;-)
  • Disons ("gnagna") qu'il y a une limite $\ell_+$.

    Alors on peut repartir dans l'autre sens.

    Dans le triangle équilatéral initial, on trace le cercle inscrit.
    On trace un carré dont les sommets appartiennent au cercle précédent.
    On trace le cercle inscrit du carré précédent.

    Etc.

    Est-ce que le rayon des polygones tend vers un réel strictement positif ? Si oui, on le note $\ell_-$. Lien avec $\ell_+$ ?
  • Jacocquot : je propose modestement de donner mon nom à la limite. ;-)
  • D'accord, si tu mets les mains dans le cambouis et que tu donnes, par exemple, une valeur approchée au centième de la limite du rayon :-D.
  • Une valeur approchée (à confirmer) :
    \[\prod_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{\cos\frac{\pi}{k+1}}\simeq 8.7.\]
  • J'ai dans mes papiers le même problème mais avec des inscriptions au lieu de circonscriptions :Dans un cercle $C_{1}$ on inscrit un triangle équilatéral. Dans ce triangle équilatéral on inscrit le cercle $C_{2}$. Dans le cercle $C_{2}$ on inscrit un carré. Dans ce carré on inscrit le cercle $C_{3}$. Dans le cercle $C_{3}$ on inscrit un pentagone régulier. Et ainsi de suite : dans le cercle $C_{n}$ on inscrit un $(n+2)$-gone régulier, dans lequel on inscrit le cercle $C_{n+1}$. Si $R_{n}$ est le rayon du cercle $C_{n}$ démontrer : $R_{n}>\frac{1}{10}R_{1}$.Le présent énoncé est plus spectaculaire, car l'infini ou non, c'est vraiment différent !
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Toujours sur le coup, Math Coss ? Je m'en réjouis.
    Tu as initialisé à $R_3=2$.
    Le tableur me donnait $R_{1000}\approx 4,33$ avec mon initialisation $R_3=1$.

    La convergence peut être lente, à l'instar de la série de Bâle.
  • Chaurien écrivait:
    > J'ai dans mes papiers le même problème mais avec
    > des inscriptions au lieu de circonscriptions :

    > Le présent énoncé est plus spectaculaire, car
    > l'infini ou non, c'est vraiment différent !


    J'en parle dans un message précédent. Les deux limites sont liées.
  • Bonjour,

    $R_{10000000}\approx 4,3500$

    Cordialement,

    Rescassol
  • Une valeur approchée plus précise de la limite: $4.35001831$.
  • Bonsoir,
    jandri, voudrais-tu nous en dire plus sur la valeur que tu proposes ?

    Dans "Le beau livre des Maths", p.382, je trouve un article relatif à notre problème.
    Il aurait été posé vers 1940 par Edward Kasner et James Newman qui pensaient que "la limite du rayon est approximativement 12".

    Attention, il y a une différence d'initialisation du rayon dans cet article:
    $R =1/(\cos\frac\pi 3.\cos \frac \pi 4.\cos\frac\pi 5...)$
    Il paraît fascinant que jusqu'en 1965, les mathématiciens aient toujours considéré que la valeur correcte de R était 12. La valeur correcte à 17 chiffres est 8,700366252081945...
    Christoffel J. Bouwkamp aurait publié un article en 1965 mentionnant cette valeur. On ne dit rien de plus sur son obtention.

    Avec notre initialisation $R_3=1$, ça donne
    $ \lim R_n=4,3500183126040972... $

    Amicalement. jacquot

    Edit : Pièce jointe: Le Beau Livre des Maths, page 382
  • Hello,

    je l'ai volé dans leur livre Mathematics and the imagination (Kasner et Newman).

    :-D

    Tu as regardé ce qui se passe quand on "part dans l'autre sens" (cf. un message précédent) ?
  • Pour regarder, je vous propose la figure jointe (png et pdf). Les deux rayons limites sont inverses l'un de l'autre, à un facteur 2 près peut-être.

    La valeur approchée que j'ai donnée plus haut était un calcul idiot consistant à faire le produit de peut-être un million de facteurs. C'est une bonne occasion pour appliquer en vrai les techniques d'accélération de la convergence ressassées pour l'agrégation. Si je trouve un moment pour les réviser, je m'y colle. Bien sûr, c'est pour du beurre puisque jandri a déjà calculé le rayon limite qui est documenté par ailleurs.73878
  • @jacquot
    Je me suis contenté de faire un calcul approché de la limite par comparaison série-intégrale.
    Si $S_n=\displaystyle\sum_{k=4}^n\ln(\cos(\pi/k))$ j'ai obtenu qu'une valeur approchée de la limite de $R_n$ avec une précision en $O(\frac1{n^2})$ est $\exp(\dfrac{\pi^2}{2n}-S_n)$.
    Pour $n=5.10^5$ j'ai obtenu environ $4.3500183126$.
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