polynôme annihilateur

jaccuzzi

Bonjour,

Grace a vous, je progresse (enfin j'espere). Alors j'ai compris qu'étant donné des polynomes multivaries $p_1,...,p_t$, il existe forcement un polynome $\phi$ tel que $\phi(p_1,...,p_t)=0$ si $t$ est plus grand que le nombre de variables. Mais peut-on avoir une idee sur la taille de $\phi$, i.e. le plus petit circuit arithmetique le representant (ou le nombre d'operations arithmetique minimal pour l'evaluer)? J'ai besoin de savoir ca pour résoudre le probleme suivant:

Soit $\lambda,t$ des parametres tel que $t<p(\lambda)$ pour un polynome $p$ donne. Dans la suite on se place dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, $n$ grand. Soit $S=[s_{ij}]$ une matrice carree de taille $2\lambda\times 2\lambda$. Pour tout $k,k'\in \{1,\ldots,t\}$, on considere les vecteurs $c_{k}$, $c_{kk'}$ definis par:

- $c_{k}=S\left(
\begin{array}{ll}
r_{k1}x_{k1}\\
r_{k1}\\
r_{k2}x_{k2}\\
r_{k2}\\
\vdots\\
r_{k\lambda}(k+x_{k1}+\cdots x_{k,\lambda-1})\\
r_{k\lambda}
\end{array}
\right)$

- $c_{kk'}=S\left(
\begin{array}{ll}
r_{k1}r_{k'1}(x_{k1}+x_{k'1})\\
r_{k1}r_{k'1}\\
\vdots\\
r_{k\lambda}r_{k'\lambda}(k+k'+x_{k1}+\cdots x_{k,\lambda-1}+x_{k'1}+\cdots x_{k',\lambda-1})\\
r_{k\lambda}r_{k'\lambda}
\end{array}
\right)$



Regroupons toutes ces valeurs (les composantes de chaque vecteur $c_k$, $c_{kk'}$) dans un tuple $\alpha\in Z_n^{\gamma=O(\lambda t^2)}$. Chaque composante de $\alpha$ peut etre ecrite comme l'evaluation d'un polynome $\alpha_i$ sur les variables $(s_{ij}, r_{k\ell}, x_{k\ell'})$ pour tout $i,j\in \{1,\ldots,2\lambda\}$, $k\in`\{1,\ldots,t\}$, $\ell \in \{1,\ldots,\lambda\}$, $\ell' \in \{1,\ldots,\lambda-1\}$. La question est la suivante. Existe-il un "petit" polynome $\phi$ (qui peut s'evaluer en temps polynomial par rapport a $\lambda$ ou de maniere equivalente qui peut s'ecrire comme un circuit arithmetique de taille polynomial) tel que

$$\phi(\alpha_1,\ldots,\alpha_\gamma)=0$$