Résolution de : $x_n^2 + y_n^2 = z_n^2$
Résolution de l'équation entière : xn2 + yn2 = zn2 avec (xn - yn) = +/- 1 (1)*
Première solution n=1 avec le triplet (3, 4, 5) soit : 32 + 42 = 52
Deuxième solution n=2 donnée par le triplet (20, 21, 29) : 202 + 212 = 292
Soit : Un = xn + yn, on démontre que : Un = [2zn2 - 1]1/2 donc (2zn2 - 1) est toujours un carré parfait.
Ainsi, la seule connaissance des zn permet de trouver tous les xn et yn qui sont solutions de (1)* via Un. On démontre par récurrence que tous les zn suivent la relation suivante : zn+2 = 6zn+1 - zn
De plus, on démontre que tous les Un respectent la même relation soit Un+2 = 6Un+1 - Un
Ainsi, à partir des zn et des Un, on obtient tous les triplets (xn, yn, zn) qui sont solutions de (1)*
Dès lors, toutes les solutions suivantes qui sont donc en nombre infini sont construites avec z1 = 5 et z2= 29 et avec U1= 7 et U2 = 41
Ainsi : z3 = 6*29 - 5 = 169 et U3 = 6*41 - 7 = 239 = x3 + y3
Soit : 1192 + 1202 = 1692
Puis : z4 = 6*169 - 29 = 985 et U4 = 6*239 - 41 = 1393 = x4 + y4
Soit 6962 + 6972 = 9852
Etc...
Emphyrio
Ps ; On remarquera que le terme zn est souvent un nombre premier, par ailleurs on peut démontrer que lorsque le terme impair du couple (xn, yn) est un multiple de 3 alors zn est un nombre premier.
On démontre aussi que tous les termes impairs des couples (xn, yn) peuvent s'obtenir par récurrence sans la connaissance des zn comme le produit de Vn+1Vn avec Vn+2 = 2Vn+1 + Vn où V1 = 1 et V2=3.
Première solution n=1 avec le triplet (3, 4, 5) soit : 32 + 42 = 52
Deuxième solution n=2 donnée par le triplet (20, 21, 29) : 202 + 212 = 292
Soit : Un = xn + yn, on démontre que : Un = [2zn2 - 1]1/2 donc (2zn2 - 1) est toujours un carré parfait.
Ainsi, la seule connaissance des zn permet de trouver tous les xn et yn qui sont solutions de (1)* via Un. On démontre par récurrence que tous les zn suivent la relation suivante : zn+2 = 6zn+1 - zn
De plus, on démontre que tous les Un respectent la même relation soit Un+2 = 6Un+1 - Un
Ainsi, à partir des zn et des Un, on obtient tous les triplets (xn, yn, zn) qui sont solutions de (1)*
Dès lors, toutes les solutions suivantes qui sont donc en nombre infini sont construites avec z1 = 5 et z2= 29 et avec U1= 7 et U2 = 41
Ainsi : z3 = 6*29 - 5 = 169 et U3 = 6*41 - 7 = 239 = x3 + y3
Soit : 1192 + 1202 = 1692
Puis : z4 = 6*169 - 29 = 985 et U4 = 6*239 - 41 = 1393 = x4 + y4
Soit 6962 + 6972 = 9852
Etc...
Emphyrio
Ps ; On remarquera que le terme zn est souvent un nombre premier, par ailleurs on peut démontrer que lorsque le terme impair du couple (xn, yn) est un multiple de 3 alors zn est un nombre premier.
On démontre aussi que tous les termes impairs des couples (xn, yn) peuvent s'obtenir par récurrence sans la connaissance des zn comme le produit de Vn+1Vn avec Vn+2 = 2Vn+1 + Vn où V1 = 1 et V2=3.
Réponses
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Bonjour.
Ce que tu écris est difficile à lire. Impossible de savoir s'il s'agit de $x\times n^2$ ou de $x_n^2$. Même si tu ne connais pas LaTeX, il y a à ta disposition des boutons x² pour les puissances et $x_2$ pour les indices qui permettent d'écrire des calculs élémentaires lisiblement.
Je t'invite à éditer ton texte pour le rendre lisible (simple politesse).
Cordialement. -
Message initial réinterprété en $\LaTeX $. jacquot
:-X Caramba :-X Emphyrio a repassé son message avec des balises en même temps. -
Désolé j'avais fait un simple copier-coller à partir de bloc notes, j'ai mis à jour le texte j'espère que c'est plus clair...
Emphyrio -
Bonjour,
Ce fut l'objet de l'épreuve Mathématiques II du concours Centrale-Supélec, filière PC, en 1997. -
Merci gb pour cette info, j'ai retrouvé le sujet et le corrigé effectivement c'est très proche bien qu'en plus complexe même si l'on donne dès le départ la relation linéaire et que l'on demande ensuite aux candidats de trouver les coefficients qui marchent...
Il est clair que les suites zn et Un avec zn+2 = 6zn+1 - zn et Un+2 = 6Un+1 - Un ont la même équation caractéristique : r2 - 6r + 1 = 0 dont les racines sont r1 = (3 + 2*21/2) et r2 =(3 - 2*21/2) de sorte que les termes zn et les Un s'écrivent tous sous la forme :
zn = C1(r1)n + C2(r2)n
Un = C'1(r1)n + C'2(r2)n
Ainsi tel monsieur Jordain faisant de la prose dans le savoir, il semble que j'ai redécouvert la Lune :-)
Emphyrio
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Bonjour!
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