Sous-groupe d'un groupe abélien fini

Bonjour,

j'essaye de redémontrer les résultats suivants (si je n'ai pas commis d'erreur).

Soit $G$ un groupe abélien fini dont les diviseurs élémentaires (dans l'ordre décroissant) sont $(d_1,\ldots,d_r)$.
1) Si $H$ est un sous-groupe de $G$, alors ses diviseurs élémentaires $(d_1',\ldots,d_s')$ vérifient $s \leq r$ et $d_i' \mid d_i$ pour tout $1\leq i \leq s$.
2) Si $H$ est un sous-groupe de $G$, alors les diviseurs élémentaires $(d_1',\ldots,d_s')$ de $G/H$ vérifient $s \leq r$ et $d_i' \mid d_i$ pour tout $1\leq i \leq s$.

On en déduit en particulier que $G/H$ est isomorphe à un sous-groupe de $G$ dans ce contexte. De mémoire, il me semble que l'on peut utiliser les relations permettant d'obtenir l'unicité des diviseurs élémentaires. Si $p$ est un nombre premier, il me semble que l'on
$$\forall k\in\mathbb{N},\quad n_{p^k}(G)=\dim_{\mathbb{F}_p}(p^k G / p^{k+1}G)= \textrm{Card}\{ 1\leq i\leq r\mid p^k\text{ divise } d_i\}.$$
On en déduit que
$$\textrm{Card}\{ 1\leq i\leq r\mid v_p(d_i)=k\}=n_{p^k}(G)-n_{p^{k+1}}(G)$$
Pour le cas 1), il est clair que $n_{p^k}(H)\leq n_{p^k}(G)$, mais il me manque un argument pour conclure. Je n'ai pas encore réfléchi au cas 2).

Comment pourrais-t-on terminer cette preuve? Existe-t-il une autre démonstration plus simple de ses résultats?
Merci pour votre aide.

Réponses

  • @MrJ
    En ce qui concerne le quotient, on peut probablement utiliser le truc suivant pour un groupe abélien fini $E = \Z/d_1\Z \times \Z/d_2\Z \times \cdots$ avec les conditions de divisibilité $d_{i+1}$ divise $d_i$ :
    $$
    \hbox {$d_i$ est le générateur de l'idéal de $\Z$ constitué des $a \in \Z$ tels que $aE$ soit $(i-1)$-engendré} \qquad\qquad (\star)
    $$
    Un groupe est $m$-engendré s'il est engendré par $m$ générateurs (pas nécessairement de manière minimale).

    Connais tu ce truc $(\star)$ qui permet d'obtenir $d_i$ uniquement à partir de la structure de $E$ ? Souhaites tu que je développe $(\star)$ ?
  • Je vois ce que tu veux dire, mais il faut que j'y réfléchisse.

    J'ai réussi à prouver cet après-midi que le premier point implique le second. En notant $\pi: G\to G/H$ la projection canonique, on obtient une application injective $\pi^T: \widehat{G/H}\to\widehat{G}$. On en déduit que $G/H$ est isomorphe à un sous-groupe de $G$, donc on peut appliquer le premier point.
  • En fait, j'ai l'impression que j'ai quasiment terminé dans mon premier message. On a une application linéaire
    $$m_k:p^{k+1} G/ p^k G \to p^{k+2} G/p^{k+1} G, \quad \bar{x}\mapsto \overline{px}.$$
    On en déduit avec le théorème du rang que
    $$\dim(\ker(m_k)) = \textrm{card}\{1\leq i\leq r \mid v_p(d_i)=k\}.$$
    Sous cette forme, il est clair (par restriction de l'application) que
    $$\textrm{card}\{1\leq i\leq s \mid v_p(d_i')=k\}\leq \textrm{card}\{1\leq i\leq r \mid v_p(d_i)=k\}.$$
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