dimension, image et noyau

hal0

bonjour,
je bloque sur un petit problème et je n'arrive pas m'en sortir.. alors finissant par développer des raisonnements farfelus, je me suis décidé à solliciter votre aide
on considere 2 endomorphismes de R² , U et V
tels que
U²=-Id
V est différent de Id
(V-Id)²=0 (ici 0 est l'endomorphisme nul de R²)
Ker (U+V-Id) n'est pas réduit à 0
j'ai démontré que U et V étaient 2 automorphismes
j'ai ensuite que Im(V-Id) est inclus dans Ker (V-Id)
or je dois désormais montrer, en raisonnant sur les dimensions, que
Im(V-Id)=Ker (V-Id)
j'avoue bloquer ici : je pense qu'il faut montrer que la dimension de Im(V-Id) est égale à 1, tout comme Ker (V-Id), ou bien même en montrant que les 2 dimensions sont supérieures à 1 (et que dimR²=2)
or je n'arrive pas à le faire..
en effet puisque V automorphisme alors dim Im V=2( car ImV=R²) et dim KerV=0(car Ker V={0} puisque V bijective donc injective)
mais ma réflexion s'arrête là..car par exemple Ker(V-Id) correspond d'après moi à tous les x de R² tels que v(x)=x.. mais cela ne me permet pas de conclure
merci par avance
cordialement

Daniel

Bonjour,

tu as parfaitement raison pour l'interprétation de $\ker(V-Id)$ comme ensemble des éléments de l'ev de départ tels que $V(x) = x$, mais ce n'est pas cela qu'il faut utiliser ici. Mieux vaut considérer l'endomorphisme $V - Id$ :
-- de la relation $\mathop{\rm im}(V- Id) \subset \ker(V-Id)$ résulte une certaine inégalité entre les dimensions de ces sous-espaces ;
-- par ailleurs, quelle relation existe-t-il entre $\mathop{\rm im}(V- Id)$ et $\ker(V-Id)$ ? entre les dimensions de ces sous-espaces ?
-- dès lors, il ne reste plus que deux possibilités pour le couple $\Bigl(\dim\bigl(\mathop{\rm im}(V- Id)\bigr), \dim\bigl(\ker(V-Id)\bigr)\Bigr)$ ;
-- $V$ est différent de $Id$ : cela élimine un des deux cas possibles ;
-- on revient alors à la relation $\mathop{\rm im}(V- Id) \subset \ker(V-Id)$ pour conclure.


Daniel

hal0

merci beaucoup
je n'avais pas réussi à synthétiser les éléments de la sorte

jean-yves

On veut prouver Ker(v-id) inclus dans Im(v-id).
Or ceci équivaut successivement à 2-rg(v-id) < ou = rg(v-id) ;
2 < ou = 2rg(v-id) ; rg(v-id) > ou = 1.

Mais v différent de id implique v-id diff. de 0 qui implique Ker(v-id) diff. de 2 qui implique Ker(v-id) < ou = 1 qui implique 2-rg(v-id) < ou = 1 qui implique rg(v-id) > ou = 1 qui implique ... ben, c'est fini !

JY

hal0

décidément je hais cet exercice
l'ayant avancé grace à votre aide me voila bloqué à nouveau
sachant que j'ai toujours les memes conditions initiales
j'ai démontré par un raisonnement par l'absurde que dimKer(U+V-Id)=1
or désormais on pose A une base de Ker(U+V-Id) et B=-U(A)
il faut alors démontrer que (A,B) est une base de R²
ma premiere approche a été de dire que (A,B) etait maximale car de cardinal 2, c'est à dire égale à la dimension de R²
considérant que démontrer que (A,B) etait une famille génératrice etait plus dur que de démontrer que la famille etait libre(ce que je considere toujours...) je me suis attaqué à montrer que la famille est libre...
cependant je n'y arrive pas
en effet en prenant une combinaison linéaire nulle de ces vecteurs je n'obtient pas que les coefficients sont nuls...j 'ai donc écrit
-U(A)=V(A)-Id
or cela ne m'avance à rien
j'ai ensuite étudier le fait que u est un automorphisme .. donc en considérant l'image d'une base par un automorphisme.. sans succes car les ensembles d'arrivée et de départ ne conviennent pas..
(je crois que j'ai fait trop d'algebre aujourd'hui..)
merci par avance

jean-yves

Pas d'panique !

A diff. de (00) et U(A)+V(A)=A.
Tu as raison de vouloir prouver que la famille (A,B) est libre:
Soient a et b deux réels tels que aA+bB=(0,0),
c'est-à-dire aA+b(v(A)-A)=(0,0) ou encore aA+b(v-Id)(A)=(0,0).

Pour profiter de (V-Id)^2=0, je prends l'image de chaque membre par V-Id.
J'obtiens a(V-Id)(A)=(0,0).

Si on avait (V-Id)(A)=(0,0), alors V(A)=A, d'où U(A)=(0,0), puis A=(0,0) puisque U est un automorphisme. C'est faux, donc (V-Id)(A) diff. de (0,0), donc a=0.
Il reste alors b(V(A)-A)=(0,0) donc, comme précédemment,, b=0.
(A,B) est bien libre.

Il y en a encore beaucoup des questions comme ça dans ton pb ?

JY

julien111

bonjour,
j'ai le même exercice,mais malheureusement je suis bloqué,pour ma part,pour montrer que u et v sont des automorphismes.
quelqu'un pourrai t il m'aider.
merci beaucoup

jp8

L'idée est ici la suivante :
pour montrer qu'un endomorphisme f est un automorphisme, il suffit de trouver un endomorphisme g tel que fog = gof = Id.

Tu appliques cette idée à u (cela découle de u² = - Id).
Puis à g (il suffit de développer (v - Id)² = 0).

Cordialement.

julien111

merci beaucoup cela m'aide beaucoup;c'etait assez simple en fait mais j'avais oublié la methode.
ensuite une derniere question me chagrine avec le meme enoncé comment montrer que im(v-Id) inclus ker(v-Id).
cela a été expliqué avant mais je ne comprends pas tout.
pouvez vous me guidez
merci

jp8

Soit x dans im(v-Id), montrer que x est dans Ker(v-Id), il suffit de calculer son image par v-Id et utiliser (v-Id)² = 0...