Densité des fonctions élémentaires

Krokop

Soit $\nu(S,T)$ l'ensemble des fonctions $f:\Omega\times [0,+\infty)\to \Bbb{R}$ telles que

1. $(\omega,t)\mapsto f(t,w)$ est $\mathcal{F}\times \mathcal{B}$ mesurable
2. $f(t,\omega)$ est $\mathcal{F_t}$ mesurable
3. $\Bbb{E}\bigl(\int_S^T f(t,\omega)^2dt\bigr)<\infty$

J'essaye de compléter la preuve que les fonctions élémentaires sont denses dans $\nu(S,T)$

On prend $h\in \nu(S,T)$ telle que $M_h:=\sup\{\vert h(t,\omega)\vert\}<\infty.$


On veut construire une suite $(g_j)_j\in \nu(S,T)$ telle qu'elle soit bornée, $t\mapsto g_j(t,\omega)$ est continue et $$\lim_{j\to +\infty} \Bbb{E}\big(\int_S^T (h(t)-g_j(t))^2dt\big)=0.$$

On prend $g_j(t,\omega)=\int_0^{+\infty}\psi_j(s-t)h(s,\omega)ds$ avec $\psi$ positive continue à support dans $[-1,0].$

La continuité de $t\mapsto g_j(t,\omega)$ n'est pas un point difficile. Par contre une "vraie" difficulté est de montrer que l'application $$\omega\mapsto \int_0^{+\infty}\psi_j(s-t)h(s,\omega)ds$$ est $\mathcal{F}_t$ measurable.

Si on suppose que $(s,\omega)\mapsto h(s,\omega)$ est progressivement mesurable alors par le théorème de Fubini on a que $\omega \mapsto g_j(t,\omega)$ est adaptée par rapport à $\mathcal{F}_t.$

Comment montrer alors que supposer $ h(s,\omega)$ progressivement mesurable n'est pas une perte de généralité? Sauf bêtises.