représentation du groupe symétrique

un_kiwi

Bonjour,

Je viens de commencer le cours sur les représentations de groupes et je n'arrive pas à faire cet exercice.

Etant donné un entier $n\ge 2$, on fait agir $\mathfrak{S}_n$ sur $\mathbb{C}^n$ par permutation des coordonnées et on note $\rho : \mathfrak{S}_n \to {\rm GL}(\mathbb{C}^n )$ la représentation associée. Le but est de trouver la décomposition de cette représentation en représentations irréductibles.

Déjà, si on traduit l'énoncé, on a une action $\mathfrak{S}_n \times \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ donnée par $\big( \sigma,(z_1,...,z_n) \big) \mapsto (z_{\sigma(1)}, ...,z_{\sigma(n)})$ mais je ne comprends pas ce qu'on entend par "$\rho : \mathfrak{S}_n \to {\rm GL}(\mathbb{C}^n )$ la représentation associée". Peut-on définir $\rho(\sigma)$, pour tout $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ ? Ou veut-on simplement dire que $\rho$ est le morphisme structural associé à $\mathbb{C}^n$ ? Y a-t-il un lien entre une action de groupe et le morphisme structural associé à une représentation ?

Après je ne vois pas du tout comment commencer pour trouver la décomposition de $\mathbb{C}^n$ en représentations irréductibles.

Cordialement.

GaBuZoMeu

Es-tu sûr que ce que tu décris fait bien une action linéaire de $\mathfrak S_n$ sur $\mathbb C^n$ ?
L'action doit être de la forme
$$ \forall \sigma \in \mathfrak S_n\ \forall z\in \mathbb C^n\quad \sigma\cdot z = \rho( \sigma)(z)$$
où $\rho$ est un morphisme de groupes de $\mathfrak S_n$ dans $\mathrm{GL}(\mathbb C^n)$.

Poirot

Une représentation est un cas particulier d'action de groupes (en l'occurrence, sur un espace vectoriel, qui de plus respecte la linéarité). La représentation est alors le morphisme structurel associé à cette action, celui-ci est à valeurs dans le sous-groupe $GL_n(\mathbb C)$ de $\mathfrak S_{\mathbb C^n}$. Pour la représentation dont tu parles, il s'agit de se donner un $\mathbb C$-espace vectoriel muni d'une base $e_1, \dots, e_n$ telle qu'on ait $\rho(\sigma)(e_i)=e_{\sigma(i)}$. Bref, $\rho(\sigma)$ est... la matrice de permutation associée à $\sigma$.

Pour ce qui est de décomposer cette représentation, tu peux commencer par chercher une droite stable pour cette représentation, et plus précisément tu peux chercher un vecteur non nul laissé fixe par tous les $\rho(\sigma)$ (il faut faire en sorte de retomber sur ses pattes quelle que soit la manière dont on permute les coordonnées, ça ne devrait pas être trop dur !).

LOU16

Bonsoir,

Le cadre est donc le suivant: $n\in \mathbb{N}^* ;\:\: (e_1;e_2 ;... e_n)$ désigne la base canonique de $\mathbb{C}^n$ et $\rho\:$ le morphisme de groupes $\mathfrak{S}_n \to \mathrm{GL}(\mathbb{C^n})$ défini par:
$$\forall \sigma \in \mathfrak{S}_n,\:\: \:\forall i \in \{1;2;...n\}, \: \:\:\rho(\sigma)\cdot e_ i = e_{\sigma(i)}.$$
Notons: $e = (1;1;...1)$ (élément de $ \mathbb{C}^n$) , $V = \text{Vect} (e),\: W = \left\{ (x_1;x_2;...x_n)\in \mathbb{C}^n \mid \sum_{i=1}^{n} x_i =0 \right\}$.
Alors; $ \mathbb{C}^n = V\oplus W\:\:\:$ et $\:\forall \sigma \in \mathfrak{S}_n\:,\:\:$ $\rho(\sigma) $ stabilise $V$ et $W $.
Cela va constituer une décomposition de $\rho$ en somme de deux représentations irréductibles: la restriction de $\rho$ à $V$(qualifiée de "triviale") est clairement irréductible .Il reste donc à prouver, et ce n'est pas immédiat; que la restriction $\theta$ de $\rho$ à $W$ l' est également. Pour cela, notons $\chi$ et $\psi$ les caractères respectifs de $\rho$ et $\theta$, et l' objectif sera atteint lorsque l'on aura montré que $\langle\psi \:|\: \psi\rangle = 1$.
on a: $\: \chi = 1+ \psi$ , et: $\:\: \forall \sigma \in \mathfrak{S}_n, \:\: \chi(\sigma) = \# F_{\sigma}$ où $F_{\sigma} $ désigne l' ensemble des points fixes de $\sigma$.
Il vient: $\displaystyle{\langle \chi\:|\: 1\rangle =\frac{1}{n!} \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\# F_{\sigma} = \frac{1}{n!}\sum_ {i =1}^{n} \#\left\{\sigma\in\mathfrak{S}_n \mid \sigma(i) = i \right\} =\frac{1}{n!}\times n\times(n-1)! = 1} $
D'autre part: $\displaystyle{\langle\chi\:|\:\chi\rangle = \frac{1}{n!} \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n} (\#F_{\sigma})^2 \overset{(1)}{=} \frac{1}{n!} \sum_{1\leq i,j \leq n} \#\left\{\sigma\in \mathfrak{S}_n \mid \sigma(i) = i \: \text{et} \: \sigma(j) =j\right\} = \frac{1}{n!}( n \times(n-1)! +n(n-1)\times(n-2)!) =2}$
Ainsi :$$ \langle\psi\:|\:\psi\rangle = \langle\chi-1\:|\:\chi-1\rangle = \langle\chi\:|\:\chi\rangle -2\langle \chi\:|\:1\rangle+1= 2 -2 +1 =1$$
Amicalement,
PS: l'égalité (1) peut être détaillée comme suit: en notant $\delta_{\sigma}(i) =1 \:\:$ si $\:\:\sigma(i) = i \:\:$ et $\:\: \delta_{\sigma}(i) = 0\:\:$ sinon,
$$\displaystyle{\sum_{\sigma}(\#F_{\sigma} )^2 = \sum_{\sigma, i, j} \delta_{\sigma}(i)\delta_{\sigma}(j) = \sum_{i,j} \#\{\sigma \mid \sigma(i) = i\:;\: \sigma(j) = j\}}$$

Poirot

un_kiwi a écrit:

Après je ne vois pas du tout comment [large]commencer[/large] pour trouver la décomposition de $\mathbb C^n$ en représentations irréductibles.

Bon bah LOU16 a tout fait.