theorie de galois

abed

On considere le polynome $x^4 -3$ sur $\Q$
Son corps de decomposition est $L=\Q(i,\alpha)$, avec $\alpha^4=3$, et son groupe de Galois est isomorphe au groupe dihedral d'ordre 6, engendre par les automorphismes de L
$\sigma$ : $i\longrightarrow i$ ; $\alpha \longrightarrow i\alpha$
$\tau$ : $i\longrightarrow -i$ ; $\alpha \longrightarrow \alpha$
Mon probleme est que j'arrive pas a trouver le coprs intermediaire entre $\Q$ et $L$ fixe par le sous groupe engendre par $\sigma\tau$

La seul idee que j'ai eu est de prendre une base de $L$ sur $\Q$ et de decomposer un element de $L$ dans cette base pour voir a quelle condition il est fixe mais j'aboutit a pas grand chose ...

Si quelqu'un a une idee, ca m'aiderait bien. Merci

Alain Debreil

Bonsoir Abed

Le groupe de Galois de l'extension $L/\Q$ n'est pas le dihédral d'ordre 6.
Si tu regardes $\sigma$, en le composant tu trouves qu'il est d'ordre 4.
Le groupe de Galois me semble plutôt être le dihédral d'ordre 8, en effet
$\sigma\circ \tau= \begin{pmatrix}
\alpha&\stackrel{\tau}{\mapsto}&\alpha &\stackrel{\sigma}{\mapsto} & i\alpha \\
i&\mapsto&-i &\mapsto & -i \end{pmatrix}$
et $\tau\circ\sigma^{-1} = \begin{pmatrix}
\alpha&\stackrel{\sigma^{-1}}{\mapsto}&-i\alpha &\stackrel{\tau}{\mapsto} & i\alpha \\
i&\mapsto&i &\mapsto & -i \end{pmatrix}$
et donc $\tau\circ\sigma^{-1} = \sigma\circ\tau$, confirmant que $\langle\,\alpha,i\,\rangle \simeq D_4$

Ta méthode pour trouver le corps fixé par $\sigma\circ\tau$ est bonne, tu écris :
$x = x_0+x_1\alpha+x_2\alpha^2+x_3\alpha^3 + x_4i+x_5i\alpha+x_6i\alpha^2+x_7i\alpha^3$
$\sigma\circ\tau(x) = x_0+x_1i\alpha-x_2\alpha^2-x_3i\alpha^3 - x_4i+x_5\alpha+x_6i\alpha^2-x_7\alpha^3$
tu écris que $\sigma\circ\tau(x)=x$, en décomposant selon la base, cela donne les relations
$x_0=x_0$ c'est à dire x_0 quelconque
$x_1=x_5$
$x_2=-x_2$ donc $x_2=0$ ($\Q$ est de caractéristique 0)
$x_3=-x_7$
$x_4=-x_4$ donc $x_4=0$
$x_5=x_1$ on l'avait déjà
$x_6=x_6$ c'est à dire $x_6$ quelconque
$x_7=-x_3$ on l'avait déjà.
Un élément du sous-corps est de la forme:
$x=x_0+x_1(1+i)\alpha +x_6 i\alpha^2 + x_3 (1-i)\alpha^3$
ce sous-corps est donc extension de $\Q$ d'ordre $4$, précisément $\Q[(1+i)\alpha]$

Alain

Vianney

$x_0$

abed

Bien sur Alain, c'est une erreur de frappe de ma part, c'est bien le groupe dihedral d'ordre 8, tu as raison (comme d'habitude, je t'ai jamais vu faire d'erreur sur le forum)

Pour ce qui est du calcul, la aussi j'ai fait une erreur mais j'etais arrive a un truc du meme type mais j'arrivais pas a conclure
Donc maintenant si je comprends bien on peut en fait conclure de deux manieres :

1) $\Q[(1+i)\alpha]$ est deja une extension d'ordre 4, comme l'indice du sous groupe

2) ou bien $i\alpha^2$ et $(1-i)\alpha^3$ sont deja dans $\Q[(1+i)\alpha]$

En tout cas, merci encore pour ta disponibilite.