Polynôme unitaire minimal annulant Z/nZ

Bonsoir,
On note $A=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
Je cherche à déterminer un polynôme unitaire minimal (au sens du degré) à coefficients dans $A$ admettant tous les éléments de $A$ pour racines.

Quand $n$ est premier, je sais montrer qu'on peut choisir $P=X^n-X$.
J'ai également montré que l'idéal des polynômes de $A[X]$ est principal engendré par un polynôme unitaire $P$ (non unique puisque si $P$ s'annule sur $A$ alors $P(X+k)$ vérifie la même propriété).
Par contre, je ne trouve pas de formule, pour $n$ quelconque, donnant un tel $P$ en fonction de $n$.

Quelqu'un a t-il des idées ?

Réponses

  • Ben, bêtement $P=\displaystyle\prod_{k=1}^n(X-\bar{k})$. C'est de degré $n$. Je ne sais pas si le degré est minimal.
  • Oui, je me sers de ce polynôme pour montrer que l'idéal des polynômes annulant $A$ est engendré par un polynôme unitaire de degré minimal (je considère une simple division euclidienne).
    Mais comme l'indique le titre de mon post, je cherche une formule donnant un polynôme unitaire de degré minimal annulant $A$ (donc de degré inférieur ou égal à $n$).
  • Je dirais que si $n=p_1\ldots p_j$ est sans facteur carré et $f \in \mathbb{Z}[x]$ alors $\forall a, f(a) \equiv 0 \bmod n$
    ssi $\forall a, \forall i$, $f(a) \equiv 0 \bmod p_i$
    ssi $\forall i$, $x^{p_i}-x$ divise $f$ dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[x]$
    ssi $f(x) = g(x)\sum_{i=1}^j \frac{n}{p_i} (x^{p_i}-x)+n h(x)$
  • Sauf erreur, voici tous les polynômes minimaux pour $n=4$ :\[\left[X^{4} + 2 X^{3} + X^{2},\quad X^{4} + 3 X^{2},\quad
    X^{4} + X^{2} + 2 X,\quad X^{4} + 2 X^{3} + 3 X^{2} + 2 X\right].
    \]Pour $n=6$ :\[\left[X^{3} + 3 X^{2} + 2 X,\quad
    X^{3} + 5 X\right].
    \]Pour $n=8$ :\[\left[X^{4} + 2 X^{3} + 3 X^{2} + 2 X,\quad X^{4} + 6 X^{3} + 7 X^{2} + 2 X,\quad
    X^{4} + 6 X^{3} + 3 X^{2} + 6 X,\quad X^{4} + 2 X^{3} + 7 X^{2} + 6 X\right].
    \]Pour $n=9$, il y a $27$ polynômes de degré $6$ (minimal) qui annulent tout le monde.
    Pour $n=10$, les $8$ polynômes de degré $5$ qui annulent tout le monde sont
    \begin{array}{lll}
    X^{5} + 5 X^{4} + 4 X,& X^{5} + 5 X^{3} + 4 X,& X^{5} + 5 X^{2} + 4X,\\
    X^{5} + 5 X^{4} + 5 X^{3} + 5 X^{2} + 4 X,&X^{5} + 9 X,& X^{5} + 5X^{4} + 5 X^{3} + 9 X,\\
    X^{5} + 5 X^{4} + 5 X^{2} + 9 X,& X^{5} + 5 X^{3}+ 5 X^{2} + 9 X.
    \end{array}
    Pour $n=12$, voici les $12$ polynômes de degré $4$ qui annulent :
    \begin{array}{lll}
    X^{4}+6X^{3}+5X^{2},& X^{4} + 11 X^{2},& X^{4} + 4 X^{3} + 5X^{2} + 2 X,\\
    X^{4} + 10 X^{3} + 11 X^{2} + 2 X,& X^{4} + 2 X^{3} + 5X^{2} + 4 X,& X^{4} + 8 X^{3} + 11 X^{2} + 4 X,\\
    X^{4} + 5 X^{2} + 6 X,&X^{4} + 6 X^{3} + 11 X^{2} + 6 X,& X^{4} + 10 X^{3} + 5 X^{2} + 8 X,\\
    X^{4} + 4 X^{3} + 11 X^{2} + 8 X,& X^{4} + 8 X^{3} + 5 X^{2} + 10 X,&X^{4} + 2 X^{3} + 11 X^{2} + 10 X
    \end{array}
    Pour $n=14$, le polynôme $X^7 -X$ annule tout le monde (il y en a d'autres).
    La suite des degrés est donc :\[1,2,3,4,5,3,7,4,6,5,11,4,13,7\dots\]ce qui semble renvoyer à une unique suite de l'OEIS et donne une conjecture : le degré minimal $m$ d'un polynôme unitaire qui annule tous les éléments de $\Z/n\Z$ est le plus petit entier tel que $n$ divise $m!$.
  • reuns écrivait:
    > $f(x) = g(x)\sum_{i=1}^j \frac{n}{p_i} (x^{p_i}-x)+n h(x)$


    On cherche un polynôme unitaire.
  • Math Coss écrivait:
    >le degré minimal $m$ d'un polynôme unitaire qui annule tous les éléments de $\Z/n\Z$ est le plus petit entier tel que $n$ divise $m!$.

    Intéressant !
  • @troisqua Mon post est une preuve que le degré minimal est $m = \max_i p_i$ quand $n = \prod_{i=1}^j p_i$ est un produit de nombres premiers distincts. Rendre le polynôme unitaire n'est pas difficile en remplaçant $x^{p_i}-x$ par $x^{m-p_i} (x^{p_i}-x))$.
    Je ne sais pas comment faire pour obtenir le résultat de MathCoss quand $n = p^k,k\ge 2$.
  • @troisqua
    Il y a quelque chose qui m'échappe. Dans ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1597134,1597144#msg-1597144, je crois comprendre, avec $A = \Z/n\Z$, que l'idéal des polynômes de $A[X]$ qui s'annulent sur $A$ est principal, engendré par un polynôme unitaire ...etc..

    Je prends $n=4$. Le polynôme $2X(X-1)$ est nul sur $A = \Z/4\Z$, non ? Et je vois dans le post de MathCoss que l'on dispose du polynôme unitaire $P(X) = X^2(X^2-1)$ de degré minimal qui s'annule sur $A$. Comment va-t-on pouvoir concilier cela ? Je ne crois pas que $2X(X-1)$ soit multiple de $P(X)$. Si ?

    Et dans ton premier post, tu dis même qu'il y a plusieurs polynômes unitaires susceptibles d'être générateurs de l'idéal en question. En mentionnant le coup de $P(X) \mapsto P(X+k)$. Mais si $P_1, P_2$ sont unitaires de même degré et générateurs de l'idéal, c'est que l'un est multiple de l'autre ; ce qui force $P_1 = P_2$ (merci au caractère unitaire).

    Je suis mal réveillé ?
  • Ne toucherait-on pas du doigt que $A[X]$ n'est pas principal si $A$ n'est pas un corps ?

    Précision : ce que j'ai fait, ce sont des calculs bêtes et une consultation de l'OEIS – une conjecture mais aucun résultat.
  • @MathCoss
    Pas tout-à-fait. Car ici un idéal bien précis de $A[X]$ est concerné (il n'est pas voulu que tout idéal de $A[X]$ soit principal). De plus, il y a le problème d'intégrité de $A = \Z/n\Z$.

    Il y a un résultat qui dit : $A[X]$ est un anneau de Bezout (tout idéal de type fini de $A[X]$ est principal) si et seulement si $A$ est zéro-dimensionnel réduit. L'aspect zéro-dimensionnel de $A = \Z/n\Z$ est acquis pour $n \ge 1$. Et $A$ réduit signifie $n$ sans facteur carré.

    Résumons : pour $n \ge 1$, $(\Z/n\Z)[X]$ est de Bezout si et seulement si $n$ est sans facteur carré.

    Mais dans le fil en question, la problématique est autre. Mettons de côté l'aspect ``l'idéal des polynômes qui s'annulent sur $A$ est principal''. Il reste l'histoire intéressante des polynômes unitaires qui ...etc...
  • $\newcommand{\zn}[1]{\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z}}$
    $\newcommand{\ep}{\varepsilon}$

    Avertissement: ce qui suit est du bricolage ! On doit pouvoir faire plus court et élégant, mais je n'ai pas le temps de chercher maintenant.

    Soit $A=\zn{4}$, et soit $P\in A[X]$ s'annulant sur $A$. En regardant, les coefficients constants, on obtient $P=XQ$. En évaluant en $1$, on a $Q(1)=0$, et donc $Q=(X-1)R$ (preuve par division euclidienne).

    En évaluant en $2$, on obtient $2R(2)=0$, soit $R(2)=0 \ ou \ 2$. Ainsi, $R=(X-2)S$ ou $R=2+(X-2)S$
    D'où $R=2\ep +(X-2)S,$ avec $\ep=0$ ou $1$.

    On a donc $P=2X(X-1)\ep+X(X-1)(X-2)S$. Enfin, en évaluant en $3$, on a $2S(3)=0$, d'où finalement:

    $P=2X(X-1)\ep+2X(X-1)(X-2)\ep'+X(X-1)(X-2)(X-3)T$.

    On en déduit rapidement que l'idéal des polynômes s'annulant sur $A$ est l'idéal engendré par $2X(X-1)$ et $X(X-1)(X-2)(X-3)$. Comme Claude, je doute que cet idéal soit principal.
  • $\newcommand{\ep}{\varepsilon}$
    Remarque utile: tout polynôme $P\in A[X]$ s'annulant sur $A$ s'écrit de manière unique $P=2X(X-1)\ep+2X(X-1)(X-2)\ep'+X(X-1)(X-2)(X-3)T$, avec $\ep,\ep'\in\{0,1\}$ et $T\in A[X]$.

    L'existence a été démontrée dans le message précédent.Si $P=2X(X-1)\ep+2X(X-1)(X-2)\ep'+X(X-1)(X-2)(X-3)T=0$, comme la multiplication par $X(X-1)$ est injective (car $X(X-1)$ est unitaire), on a $2\ep+2(X-2)\ep'+(X-2)(X-3)T=0$.
    En évualuant en $2$, on a $2\ep=0$, d'où $\ep=0$ car $\ep=0$ ou $1$, puis $2\ep'+(X-3)T=0$. En évaluant en $3$, on a $2\ep'=0$, puis $\ep'=0$, et finalement $(X-3)T=0$, d'où $T=0$.

    On doit pouvoir grâce à cela examiner la principalité de $I=(2X(X-1),X(X-1)(X-2)(X-3))$.
    Plus le temps d'examiner la question avant demain...
  • Bonjour à tous.

    Je pensais avoir démontré que l'idéal était principal à partir de ce raisonnement:

    Parmi les polynômes unitaires de $A[X]$ qui annulent $A$, j'en choisis un, disons $P$, de degré minimal (il existe bien un polynôme unitaire annulant $A$ (par exemple, le produit des $X-k$ pour $k \in A$).

    Maintenant, soit $N$ s'annulant aussi sur $A$. Comme $P$ est unitaire, il existe un quotient $Q$ et un reste $R$ dans $A[X]$ de degré strictement inférieur à celui de $P$ tel que $$N=PQ+R$$
    On obtient ainsi que $R$ s'annule sur $A$ et par minimalité du degré de $P$, $R=0$ ce qui montre que $P$ divise $N$. L'idéal des polynômes s'annulant sur $A$ est donc engendré par $P$ non ?

    Sauf que, évidemment, ce raisonnement est faux puisque $R$ n'est pas nécessairement unitaire !

    Donc effectivement, l'idéal n'est pas forcément principal. Cela dit, ça n'en retire pas la question de trouver une formule donnant $P$.
  • Bonjour,

    La "conjecture Math Coss OEIS" me parait tout à fait correcte:
    $1)$ Soient $n$ et $k$ dans $\mathbb{N}^*$ tels que $n$ divise $k!$.
    Je note , pour tout $s$ dans $\mathbb{N} ,\: P_s$ l'élément de $\mathbb{Z} [X]$ défini par $\displaystyle{P_s(X) = \prod_{i=0}^{s-1} (X-i)}$. $\:\:\:(P_0 = 1$).

    Alors: $\forall x \in \mathbb{Z}, \:\:\ P_k(x) \equiv 0 \bmod k!$ donc $P_k(x)\equiv 0 \bmod n$
    Ainsi $P_k$ "s'annule sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$" et $\text{deg}P_k = k$ .

    $2)$ Soient $n\: \text{et}\: k$ dans $\mathbb{N}^*\:\:,P$ un polynôme unitaire de $\mathbb{Z}[X]$, de degré $k$ et "s'annulant sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$".
    Alors, en utilisant le fait que les $P_i $ forment une $\mathbb{Z}\text{-base}$ de $\mathbb{Z}[X]$, on déduit qu' il existe des entiers $a_0, a_1 \dots a_k$ tels que $$P(x) = \displaystyle{\sum_{i =0}^{k} a_i P_i(x)}\:\: \text{et}\:\:\: a_k =1$$.
    Alors $\forall s\in \{0,1,\dots k\} \:\:\: P(s) =\displaystyle {\sum_{i=0}^{k} a_i\binom{s}{i} i!},\:\:\:\:\:(\binom{s}{i} = 0 \:\:\text{si}\:\:i>s) $ et on déduit par récurrence sur $s$ que:$$\forall s\in \{0,1, \dots k\},\:\:s! . a_s \equiv0\bmod n$$.
    Il s'ensuit que $k!.a_k = k! \equiv 0 \bmod n$.
    $3)\text{Conclusion}$: un polynôme répondant à la question qui initiait ce sujet est $P_k(X)$ où $k$ est le plus petit entier tel que $n$ divise $k!$.
    Amicalement,
  • Très joli !
    Merci.
  • Bien joué LOU16 !
  • @LOU16
    Pareil que MathCoss : vraiment bien joué et carré comme tout.
  • Joli. Bon, et du coup coup, j'en fais quoi de mon idéal $I$ ? On s'intéresse à sa principalité, ou osef ?
  • @killersmile38
    Une proposition (honnête, il me semble). On (tu ?) prend $n = p^e$ avec $p$ premier et $e \ge 2$. Et tu détermines un (petit) système de générateurs de l'idéal $I$ de $(\Z/n\Z)[X]$ des polynômes qui s'annulent sur $\Z/n\Z$ et tu montres qu'il n'est pas principal. Il pourrait y avoir une forte récompense de la part d'un certain nombre de personnes du forum.

    Qu'en dis tu ?
  • L'idéal $I$ serait-il engendré par les $P_k(X+a)$ fabriqués par LOU16 où $a$ parcourt $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ?
  • Bonne question. As-tu testé avec $n=4$ ? Si c'est vrai, l'idéal $I=(2X(X-1), X(X-1)(X-2)(X-3))$ devrait être égal à l'déal que tu décris .

    PS: J'ai vérifié que $I$ n'était pas principal, mais je n'ai pas le temps de poster une solution tout de suite.
  • Ici $n=4$. Le plus petit $k$ tel que $n \mid k!$ est $k=4$. Et on a $P_k(X+a) = P_k(X)$ pour $a \in \Z/n\Z$. Donc l'idéal engendré par tous les $P_k(X+a)$, $a \in \Z/n\Z$ est réduit à $\langle P_k(X)\rangle$. Le polynôme $2X(X-1)$ nul sur $\Z/n\Z$ mais non multiple de $P_k(X)$.
  • Un petit quelque chose (un point étant expérimental, obtenu via la machinerie Gröbner, qui existe au dessus de $\Z/n\Z$, mais méfiance).

    Quand on commence une activité inconnue, il faut être modeste (je parle de moi). Ici $n = p^2$ avec $p$ premier.

    1) Le plus petit $k$ tel que $n \mid k!$ est $k = 2p$.

    2) Le polynôme $F = pX(X^{p-1} - 1)$ est nul sur $\Z/n\Z$.

    3) Pour $p \ne 2$, on a (expérimental) $\langle P_k(X+a) : a \in \Z/n\Z\rangle = \langle P_k, F\rangle$. Faux pour $p=2$, cf mon post précédent. Le nombre premier $p=2$ se comporte rarement comme les autres.

    AJOUT Pour tout $p$, on a $F(X+1) = F(X)$. Et aussi $P_k(X+1) - P_k(X)$ multiple de $F$.
    En remplaçant $X$ par $X+1$, on obtient $P_k(X+2) - P_k(X+1) \in \langle F\rangle$ ; on en déduit $P_k(X+2) - P_k(X) \in \langle F \rangle$ et ainsi de suite. Bilan :
    $$
    P_k(X+a) \in \langle P_k, F \rangle \qquad \forall \ a \in \Z/n\Z
    $$
    Pour $p \ge 3$, on a :
    $$
    F = P_k(X+a) - P_k(X) \qquad \hbox {avec} \qquad a = {p (p-1) \over 2}
    $$
    Et donc 3) est prouvé.
  • Bonjour,

    je remercie LOU16 pour son texte : il y a un truc que je ne saisis pas bien dans son raisonnement par récurrence... voir le texte tiré de ce qu'il a écrit.

    J'ai donc besoin d'une petite aide. Merci.


    Jean-éric
  • Salut Jean-Eric,

    Dans le point 2, ton $P$ vérifie EN FAIT $P(s) \equiv 0 \bmod n$ POUR TOUT $s \in \Z$. On a l'impression que tu limites $s$. Pourquoi $P$ vérifie ...etc.. ? parce que c'est le cas de tout polynôme de $\Z[X]$ nul sur $\Z/n\Z$.

    Je détaille en cas de besoin i.e. si on est (trop) attaché au fait de représenter $\Z/n\Z$ par $[0..n-1]$ : si $s$ est un entier quelconque, il existe un entier (unique) $0 \le y < n$ tel que $s \equiv y \bmod n$. Donc $P(s) \equiv P(y) \bmod n$ ...etc...

    Do you see what I mean ? Est ce que c'est cela qui te gêne ?

    Je termine par plusieurs remarques.

    1) Ce n'est pas toujours une bonne chose de représenter $\Z/n\Z$ par $[0..n-1]$. Il faut parfois plus de souplesse. Je me comprends.

    2) Ta phrase au milieu de ta page 1 : en tant que polynômes échelonnées de degré $i$ chacun. Cette phrase n'est pas top pour plusieurs raisons. D'abord polynôme c'est masculin. Deuxièmemement, c'est la famille des polynômes qui est échelonnée. Enfin et surtout, il manque l'adjectif unitaire. Une famille $(P_i)_{i \ge 0}$ de polynômes de $\Z[X]$ vérifiant $\deg P_i = i$ n'est pas nécessairement une $\Z$-base de $\Z[X]$.

    3) Pourquoi un point d'interrogation à la fin de la dernière ligne de la page 1 ?

    Merci à toi de rédiger !! Ainsi, il reste quelque chose de tangible.
  • Jean-Eric, suite.
    I) Dans ta question 1. Je ne comprends pas ton $P(X) = X^{n-1} + (n-1)$ pour $n$ premier. Ce polynôme n'est pas nul en $x = 0$. Qu'est ce que tu as voulu dire ? Le polynôme convoité est $X^n - X$. Pense à $n=p$ premier et à $X^p - X = X (X-1) \cdots (X-(p-1))$ dans $\mathbb F_p[X]$.

    II) Dans la question 2, il y a une coquille dans la définition de $P_s$ : il manque $(X-i)$ après le produit.
  • Merci Claude pour ta relecture fine.

    Je relis tout cela dès que possible et corrige aussi.

    PS. -Je ne suis vraiment pas doué. Remarque je le saurais si c'était le contraire !


    PS 2 et pas qu'en maths vu le passage d'AD...
  • Bonjour,

    j'ai mis à jours ce que j'ai écrit en suivant au mieux les indications de Claude. Il y a encore deux trous et sans aucun doute des grandes maladresses n'ayant pas forcement tout compris des indications données par Claude.

    Jean-éric
  • @Jean-éric
    C'est quoi cette histoire de ``doué/pas doué'' ? Je vais faire une vague comparaison en parlant de moi. Je marche en montagne, modestement. Je grimpe rarement aux sommets (et je vois bien que d'autres y vont). Alors, je ne suis pas doué en montagne ? Je ne me souviens pas de m'être posé la question. Je prends plaisir à marcher comme je le fais (à mon niveau), un point c'est tout. Et j'ai envie de continuer tant que je pourrais ; parce que j'aime cela, tout simplement. Désolé d'avoir beaucoup parlé de moi. Et pour les maths, est ce que ce n'est pas un peu la même chose ?

    Revenons à nos moutons (j'ai continué la relecture)

    1) Dans les coefficients binomiaux, tu as inversé le haut et le bas i.e. $\displaystyle \binom{a}{b}$ versus $\displaystyle \binom{b}{a}$. Un peu près partout, je pense.

    2) Page 2, 4-ième ligne en partant du haut. A droite de $P(s) = \cdots$, il manque les coefficients binomiaux, non ? Rappel : $P_i(s) = \binom {s}{i}\ i!$.

    3) La numérotation des questions dans le corrigé ne correspond pas à celle dans l'énoncé.

    4) Dans l'énoncé de la question 4, il faut supprimer <<à>> dans Répondre à alors au problème initial.

    5) Truc de pinailleur : cela serait plus joli dans l'énoncé que la définition de $P_s$ vienne avant la question 2.

    J'aurai d'autres choses à dire mais plus tard.
    Bon week-end.
  • @Jean-éric
    Nous avons posté un peu près en même temps. Je retire la nouvelle version.

    Remarque : si $A$ est un anneau commutatif quelconque et $(P_k)_{k \in \N}$ une famille de polynômes unitaires de $A[X]$ vérifiant $\deg P_k = k$, alors c'est une $A$-base de $A[X]$. On va dire que grosso-modo, sur un anneau commutatif quelconque, cela vient du fait qu'une matrice carrée triangulaire à diagonale unité est inversible.

    Autre chose : je crois voir le souci provoqué par le fait de naviguer entre $\Z[X]$ et $(\Z/n\Z)[X]$. Je dis bien je crois. Et en posant $A = \Z/n\Z$ et en travaillant dans $A[X]$ i.e. au dessus de $A$, est ce que cela apaiserait les soucis ? Do you see what I mean ?
  • Salut Claude,

    En vrac :

    1) pour la formule du binôme je n'ai pas relu, et comme je ne l'utilise que très rarement j'ai interverti n et p dans la commode latex \binom{n}{p} : je regarde cela.

    2) je rectifie page 2.
    3)Erreur de numérotation ok.
    4) trop de "à" tue le "à".

    5) je vais voir comment faire.
    6) Pourquoi un matrice $A$ diagonale supérieure dans $GL_n(\mathbb{Z})$ est inversible (avec des 1 sur la diagonale) dans $GL_n{\mathbb{Z}}$ ? réponse elle est inversible de déterminant 1, son inverse est triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale. Le fait que les autres coefficients de l'inverse soient dans $\mathbb{Z}$ provient du fait que $A^{-1}=(\det(A))^{-1} {}^t \tilde{A}$ où $\tilde{A}$ est la transposée de la matrice des cofacteurs de $A$. Les coefficients de la matrice des cofacteurs étant calculés à l'aide de déterminants dont les variables sont les coefficients de la matrice $A$, ils sont bien entiers.
    7)Comme tu le dis, le fait d'une part de travailler dans $\mathbb{Z}[X]$ puis de raisonner modulo $n$ me pose en véritable souci ici... faut dire que je n'avais pas bien assimilé le fait que le polynôme était à coefficients dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

    Bon faut je reprenne tout cela... A plus tard je ne lâche pas l'affaire. Pour le reste moi je marche sur le plat.
  • @jean-éric
    Sur le plat, j'aime beaucoup aussi (surtout quand je vois loin i.e. pas trop de forêt).

    Retour à nos moutons. Bien sûr, mes relectures des posts précédents concernent la première version. Nous en sommes maintenant à la deuxième. Je vois une coquille dans l'énoncé de la question 1 : $P(x)$ au lieu de $P(X)$.

    Et dans le corrigé pour question 1 : pourquoi minimal (en degré) ? D'après le principe suivant : soit $P \in K[X]$ où $K$ est un corps. Si l'on a $P(x_i) = 0$ pour des $x_i \in K$, $1 \le i \le k$, deux à deux distincts, alors $P$ est divisible par $(X-x_1) \cdots (X - x_k)$. Mieux ci-après car sans négation (il y en a une dans $x_i \ne x_j$ pour $i \ne j$). Sur un anneau quelconque, si chaque $x_i-x_j$ est inversible pour $i \ne j$ (ici ce n'est pas une négation générale), on a la même conclusion.

    Quant à cette histoire de matrice triangulaire à diagonale unité (sur un anneau commutatif quelconque), voilà ce que j'en dis. Soit $n=3$ un entier quelconque. On doit montrer, $x',y',z'$ étant donnés, l'existence et l'unicité de $x,y,z$ vérifiant :
    $$
    \pmatrix {
    1 & a & b \cr
    0 & 1 & c \cr
    0 & 0 & 1 \cr}
    \pmatrix {x \cr y \cr z \cr} = \pmatrix {x' \cr y' \cr z' \cr}
    $$
    Je pars par le bas en déterminant (de manière unique) $z$ puis $y$ puis $x$. Pas besoin de déterminant, de co-matrice ...etc..

    C'est pas bien parce que $n=3$ n'est pas un entier quelconque ? Pour moi, si.
  • @ Claude, je pense que l'on converge sur certains points...

    la rectification du 2) je n'ai pas compris donc je n'ai pas rectifié.

    je n'ai pas tout compris dans ton histoire de négation... concernant la question 2) nouvelle version.

    Bref j'en suis là version 3, où je n'ai pas encore bien délimité l'apport de l'usage de $A=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

    J'ai tenu compte et changé la rédaction de l'exo. Je te remercie de ton travail minutieux de relecture encore une fois.

    Bonne soirée et à demain.
  • @Jean-éric
    Ok, je tire. A suivre.

    Négation : laisse béton. C'est que chez nous, c'est assez strict. Il n'est pas conseillé de mettre les coudes sur la table. Normal. Déconseillé aussi, dans un anneau quelconque de dire $x \ne y$ i.e. $x - y \ne 0$ ; au lieu de préciser sur $x - y$ ce qu'il n'est pas, il est préférable de préciser ce qu'il est, par exemple régulier ou inversible. Il s'agit donc de rechercher les qualités plutôt que les défauts. Ce qui permet d'éviter les c.nn.ries du genre : si $P(x) = P(y) = 0$ et $x \ne y$, alors $P$ est divisible par $(X-x)(X-y)$, ce qui est totalement faux. Alors que $P(x) = P(y) = 0$ et $x - y$ inversible, cela entraine $P$ divisible par $(X-x)(X-y)$.
    Mais ça, c'est chez nous. Quand on sort dans la rue, on essaie de passer inaperçu.
  • @ Claude : t'es vraiment le Seigneur des Anneaux, en modulant parfaitement tes arguments. Là je rase les murs avec ce que tu écris, cela reste trop abstrait pour moi. T'as un exemple ?
  • @Jean-éric
    Vous avez dit ``anneaux'' ? Eh bien, je te signale que l'on est dedans jusqu'au cou ; parce que $A = \Z/n\Z$, c'en est un (anneau), justement sur la sellette dans ce fil. Et si on ne fait pas assez attention, on pourrait raconter des bêtises. Tiens prenons $n=4$ et $P(X) = X^2$ ; c'est bien vrai que $P(0) = P(2) = 0$ dans $A = \Z/4\Z$, n'est ce pas ? Quid de $P(X)$ multiple de $X(X-2)$ dans $A[X]$ ?

    D'ailleurs à ce propos, dans le corrigé de la question 2. on sent comme un certain flottement. Je veux dire que ton histoire de premiers deux à deux est tout-à-fait correcte (rappel : cela se passe dans $\mathbb F_p[X]$) mais on dirait que toi-même, tu n'y crois pas. Je me trompe ?
    Question : que faire (de plus) quand on écrit quelque chose et que l'on n'y croit pas (trop) ?

    J'ai relu la version III. Quelques remarques.

    1) Dans l'énoncé de la question 2b, un truc un peu étrange quand tu écris : $\forall x \in \Z/n\Z$, $P(x) \equiv 0 \bmod n$. Ce qui est étrange, c'est que $P(x)$ est un habitant de $\Z/n\Z$. Dit-on d'un habitant de $\Z/n\Z$ qu'il est congru à $0$ modulo $n$ ? Je sens que tu vas me traiter de pinailleur (de manière générale, c'est pas faux). Mais ici, dans ce contexte, le fait de poser cette question 1 b) est révélateur de quelque chose. De quoi ? Seul toi peut le savoir car c'est toi qui pose la question.

    De manière générale. Soit $P \in B[X]$ et $J$ un idéal de $B$ ; si $P$ est nul sur $B/J$, alors $P(b) \equiv 0 \bmod J$ pour tout $b \in B$. N'est ce pas ? Faut-il en dire plus ? A chacun de juger.

    2) Dans le corrigé de la question 1a) il y a un symbole de transposé en trop dans $^{t} \widetilde A$. Car $\widetilde A$ est ``la'' matrice qui vérifie $A\widetilde A = \widetilde A A= \det(A) \text{I}_n$, the so-called cotransposée de $A$ par Bourbaki (A III. p. 99).

    Note : je ne suis pas un capricieux qui préfère les montées aux descentes (quoiqu'à la montagne, cela se discute). Il se trouve que la matrice qui intervient est triangulaire inférieure à diagonale unité (ce qui est tout-à-fait naturel dans ce contexte).

    Est ce que tu n'en fais pas trop en voulant justifier que l'inverse est à coefficients entiers ? Est ce que cela n'est pas révélateur de quelque chose ? De quoi ? Toi seul ... (air connu).

    Plus rien à ajouter. Et merci du fait qu'il reste une trace quelque part.
  • @ Claude,

    t'as mis le doigt où... cela fait mal. Faute de temps là, je reprendrai cela plus tard. Une version ultime en tenant compte de tes remarques.

    Bonne journée Claude.
  • Bon j'ai gommé quelques imperfections.

    @ plus tard.
  • @jean-éric
    Pour moi, ça roule. Et pour toi ? Juste un petit truc (qu'il est ch.ant, ce CQ) : dans l'énoncé de la question 4, il manque l'adjectif ``unitaire'' dans ``un polynôme unitaire $P$''; n'est ce pas ? D'ailleurs, dans le corrigé de cette question 4, tu reprends l'intitulé de l'énoncé, mais cette fois ``unitaire'' figure ; et dans ce corrigé, on voit 3 occurences de ``$P$ unitaire'' (et effectivement, c'est important).
  • @ Claude, non tu n'es pas chiant, t'es exigeant en qualité et c'est pour cela que j'aime tes conseils et commentaires, et d'ailleurs que je poste ici.

    Amicalement.

    Jean-éric

    PS : je tente d'implémenter cela en Python ce soir, après rectification du petit truc.
  • @jean-éric
    Encore un mini-mini truc à dire.

    1) Soit $P \in \Z[X]$ tel que $P(x) \equiv 0 \bmod n$ pour tout $\fbox{$x \in \N$}$. Alors $P(x) \equiv 0 \bmod n$ pour tout $\fbox{$x \in \Z$}$. J'espère que tu es d'accord.

    2) Imagine qu'un pinailleur nous dise : mézalors, pourquoi dans la question 3, une fois prouvé $P_k(x) \equiv 0 \bmod n$ pour tout $x \in \N$, vous vous évertuez à prouver que $P_k(x) \equiv 0 \bmod n$ pour tout $x \in \Z$ ? Tu sais ce qu'on lui répond ? Eh bien, monsieur le pinailleur, tout simplement parce que nous montrons l'identité :
    $$
    P_k(X) = (-1)^k \ P_k(-X + k-1) \qquad (\star)
    $$
    et que cette identité nous semble intéressante. Et toc ! Non mais. Car effectivement, tu as montré cette identité $(\star)$.
  • @ Claude,

    bon implémenter cela en Python, ce n'est pas simple pour moi. Je me.de grave sur les polynômes (avec des listes) donc pour l'instant je n'y arrive simplement pas.

    Générer des polynômes unitaires (tous) à coefficients dans un ensemble donné de degré donné, ce n'est pas dans mes cordes. Pas le temps d'y réfléchir plus, je poserai sans doute la question dans le forum maths info.

    Quant à tes remarques toujours judicieuses, je mettrai à jour le texte en tenant en tenant compte bien sûr. Mais là pas le temps...
  • Pourquoi implémenter en Python ? C'est refaire (mal, sans doute) des trucs qui ont déjà été bien faits dans tout bon système de calcul formel. Par exemple, Sage (tu ne seras pas dépaysé si tu as l'habitude de Python) ou Xcas (pour ne parler que des gratuits).
  • @GaBuZoMeu
    Oui je sais parfaitement que Python ce n'est pas ce qui est le mieux pour cela d'où mes difficultés... Mais bon il y a des moments où pour comprendre comment cela marche et assimiler les commandes il faut bien s'y frotter. Et vu la tendance actuelle dans l'enseignement au lycée, j'ai intérêt à coder un peu et régulièrement.

    Après avec les bons outils c'est plus efficace élégant et rapide, là je te rejoins parfaitement.

    Sage je ne connais pas, Xcas je connais mais je l'utilise rarement.
  • Je te conseille vraiment d'utiliser Sage.
    Ça te fera pratiquer Python, et ça t'évitera de t'épuiser à réinventer l'eau chaude.
  • Ok, le message est clair, merci GaBuZaMeu.

    Tu voulais dire l'eau froide je pense.
  • Un coup d'eau chaude (réchauffée par Philippe Malot) :
    #polynomes unitaires de Z/nZ annulant les éléments de Z/nZ
    ############impression des polynomes(recupéré sur le net)
    import sys
    
    def deg(p):
        d=0
        # l'instruction suivante est une boucle for:
        # elle exécute les instructions qui la suivent et qui sont décalées
        # par rapport à elle,
        # ceci pour chaque valeur de k dans la liste qui est donnée
        # ici c'est range(len(p))
        for k in range(len(p)):
             if p[k] != 0: 
                 d=k # cette instruction est décalée par rapport à
                        # l'instruction for:
                        # elle est exécutée pour chaque valeur de k
        return d # cette instruction n'est pas décalée par rapport à
               # l'instruction for: elle est exécutée quand la boucle for
               # est terminée
    
    def coef(p,k):
      if k<len(p): return p[k]
      else: return 0
    
    # on définit une fonction qui imprime à l'écran une suite de caractères
    # (on dit <<chaîne>> en informatique, sans le retour à la ligne que met 
    # la fonction standard print
    
    def imprime_chaine(s):
      sys.stdout.write(s)
    
    # et d'une fonction qui fait demême avec un nombre
    # pour cela on convertit le nombre en chaîne avec la fonction str
    
    def imprime_nombre(x):
      imprime_chaine(str(x))
    
    # allons-y
    def imprime_poly(p):
        deja=False # pour savoir si on déjà imprimé quelque-chose du polynôme
        for k in range(deg(p)+1): 
            c=coef(p,k)
            if c != 0: # toutes les instructions jusqu'à l'instruction deja=True
                 # sont décalées: elles sont donc exécutées si c<>0
                 # celles d'après ne le sont plus donc sont exécutée 
                 # indépendamment de la valeur de c
                if c>0: 
                    if deja: 
                       imprime_chaine('+')
                else: imprime_chaine('-')
                c=abs(c)
                if c != 1 or k==0: 
                    imprime_nombre(c)
                if k>=1:
                     imprime_chaine('X')
                if k>1: 
                     imprime_chaine('^') 
                     imprime_nombre(k)   
                deja=True
      # fin de la boucle for, car il n'y a plus de décalage 
      # par rapport à l'instruction for 
        if deja==False: 
            imprime_nombre('0')
        imprime_chaine('\n')
    
    ###############
        
    def ndivk(n) : # détermine le plus petit entier k tel que n divise k! et les polynômes cherchés seront de degre k
        k=1
        i=1
        while k%n !=0 :
            j=k
            k=k*i
            i=i+1
        return i-1
    
    def polys(n,k):
        lst = [[1]]
        for _ in range(k):
            lst = [[val] + pol for val in range(n) for pol in lst]
        return lst
    
    def evalpoly(L,x) :
        res=0
        for i in range(len(L)):
            res=res+L[ i]*x**i
        return res
    
    ##############  programme principal
    
    n=8
    k=ndivk(n)
    
    for j in range(len(polys(n,k))): 
        traque=True
        i=0
        while i<=n and traque :
            if evalpoly(polys(n,k)[j],i)%n !=0 :
               traque=False
            else :
                i=i+1
        if traque :
            imprime_poly(polys(n,k)[j])
    
    Ce qui confirme parfaitement ce que donne Math Coss qui lui a sans aucun doute été plus Sage que moi !
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