Suite définie implicitement

zorg

Il s'agit de la suite $(a_n)$ unique solution sur ${\Bbb R}^+$ de l'équation

$$\exp(-x)\left(1+x+\ldots+\frac{x^n}{n!}\right) = \lambda$$

avec $\lambda \in ]0,1[$.

J'ai montré que $(a_n)$ diverge vers $+\infty$.

Ensuite on demande un développement asymptotique à deux termes de $a_n$.

D'habitude ce que l'on fait, on commence par chercher un équivalent de $a_n$. Je pense ici que $a_n \sim n$ mais je n'arrive pas à le montrer. Ensuite on réinjecte ce D.A dans l'équation qui définit $a_n$.

Merci de me donner une idée mais pas toute la solution.

Bonnes fêtes !

Apollonius

On a :
$$
(1+x + \ldots + x^n/n!)= (\lambda/ (1-\lambda))(x^{n+1}/(n+1)!+\ldots)
$$
On remplace $n!$ par la formule de Stirling, c'est $\sqrt{2\pi n}(n/e)^n$ grosso modo, ce qui donne :
$$
(1+x + \ldots +(1/\sqrt{2 \pi n})(ex/n)^n)=(\lambda/(1-\lambda))((1/\sqrt{2 \pi (n+1)})(ex/(n+1))^{n+1}+ \ldots)
$$
On utilise alors la formule d'Euler-MacLaurin pour estimer les sommes par des intégrales... Je pense que c'est une piste.

jandri

Ce n'est pas facile. Voici la méthode que j'ai utilisée.
On applique la formule de Taylor avec reste intégral pour obtenir $f_n(x)=e^{-x}\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}=\int_x^{+\infty}\dfrac{u^ne^{-u}}{n!}dt$.
On pose $x=n+y\sqrt{n}$ et on fait le changement de variable $u=n+t\sqrt{n}$.
On applique le théorème de CV dominée.
On termine alors facilement.

Pour avoir l'idée du développement asymptotique on peut remarquer que $f_n(x_n)=P(X_n\leq n)$ où $X_n$ suit une loi de Poisson de paramètre $x_n$ puis approcher $\dfrac{X_n-x_n}{\sqrt{x_n}}$ par la loi normale centrée réduite.

zorg

Hou là !
En effet, ça n'a pas l'air immédiat.
Merci jandri, je vais étudier cela.

zorg

Je calcule
$$f_n(n+y \sqrt{n}) = \frac{1}{n!}\int_{n+y\sqrt{n}}^{+\infty} {\rm e}^{-u}u^n{\rm d}u$$

On effectue le changement de variable $u = n+ t \sqrt{n}$.

$$f_n(n+y \sqrt{n}) = \frac{\sqrt{n}{\rm{e}^{-n}}}{n!}\int_{y}^{+\infty} {\rm e}^{-t\sqrt{n}}\left(n+t\sqrt{n}\right)^n{\rm d}t
=\frac{\sqrt{n}{\rm e}^{-n}n^n}{n!}\int_{y}^{+\infty} {\rm e}^{-t\sqrt{n}}\left(1+\frac{t}{\sqrt{n}}\right)^n{\rm d}t$$

Pour $t$ fixé, $u_n(t) = {\rm e}^{-t\sqrt{n}}\left(1+\frac{t}{\sqrt{n}}\right)^n = \exp\left(-t\sqrt{n}+n\ln\left(1+\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right) = \exp\left(-t^2 + {\rm o}(1)\right)$ ($n \rightarrow +\infty$).

La suite de fonctions $u_n$ converge simplement sur $\R^+$ donc sur $[y,+\infty|$ vers la fonction $t \mapsto {\rm e}^{-t^2}$.

Je ne vois pas comment faire pour l'hypothèse de domination.

Pour le facteur devant l'intégrale, par Stirling, $\frac{\sqrt{n}{\rm{e}^{-n}} n^n}{n!} \sim K{\rm e}^{-2n}$.

Admettons que $\lim_{n \rightarrow +\infty}f_n(n+y \sqrt{n}) =0$. Dans ce cas, à partir d'un certain rang, $ f_n(n+y \sqrt{n}) < \lambda$ donc $x_n \le n+y \sqrt{n}$.

Et ensuite je ne vois pas ? Il faudrait encadrer pour obtenir un D.A de $x_n$ ?

jandri

C'est bien mais tu as fait une petite erreur dans le calcul du développement limité de $\ln(1+t)$.

Pour obtenir l'hypothèse de domination il faut ici montrer que la suite $u_n(t)$ est décroissante.
Je l'ai démontré en dérivant trois fois $h(x)=x^2\ln(1+\frac tx)-tx$.

Ensuite tu as fait une erreur en appliquant la formule de Stirling.

Pour terminer on montre qu'il y a un unique $y_0$ tel que la limite de $f_n(n+y_0 \sqrt{n})$ soit nulle.
Si $y<y_0$ on a $x_n\geq n+y \sqrt{n}$ pour $n\geq n_1$.
Si $y>y_0$ on a $x_n\leq n+y \sqrt{n}$ pour $n\geq n_2$.

zorg

Merci Jandri pour ta réponse.
Je corrige mes erreurs.

On trouve que la suite de fonctions $(u_n)$ converge simplement vers $t \mapsto {\rm e}^{-t^2/2}$ sur $[y,+\infty[$.
Puis on a par Stirling $$\frac{\sqrt{n}{\rm e}^{-n}n^n}{n!} \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}.
$$ Effectivement, en dérivant 3 fois la fonction $x \mapsto -tx+x^2\ln\left(1+\frac{t}{x}\right)$, on montre que cette fonction est décroissante.
(Je dois dire qu'à ce stade là, il faut vraiment avoir la foi chevillée au corps pour aller jusqu'à la dérivée 3ème...)
On a donc $0 \le u_n(t) \le u_1(t)=(1+t){\rm e}^{-t}$ qui est intégrable. Cela nous donne l'hypothèse de domination.

Rappel. On avait posé $f_n(x) = {\rm e}^{-x}\left(1+x+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right)$. et $(a_n)$ est l'unique racine positive de l'équation $f_n(x) = \lambda \in ]0,1[$.
On a à présent $$f_n(n+y \sqrt{n}) =\frac{\sqrt{n}{\rm e}^{-n}n^n}{n!} \int_y^{+\infty}u_n(t){\rm d}t ~\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}~\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_y^{+\infty} {\rm e}^{-t^2/2}{\rm d}t = L(y)
$$ La fonction $L(y)$ est décroissante strictement et tend vers $0$ en $+\infty$ car c'est le "reste" d'une intégrale convergente.
La limite de $L(y)$ en $-\infty$ vaut $1$ (densité de la loi normale).
Il existe donc un unique réel $y_0$ tel que $L(y_0) = \lambda$.
Si $y_1 < y_0$ alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}f_n(n+y_1\sqrt{n}) = L(y_1) > \lambda$ et donc il existe un rang $n_1$ à partir du quel $ f_n(n+y_1 \sqrt{n}) > \lambda$ et donc $n+y_1 \sqrt{n} < a_n $.
Si $y_2 > y_0$ alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}f_n(n+y_2\sqrt{n}) = L(y_2) < \lambda$ et donc il existe un rang $n_2$ à partir du quel $ f_n(n+y_2\sqrt{n}) < \lambda$ et donc $n+y _2\sqrt{n} > a_n $.
On a donc APCR $n+y_1 \sqrt{n} < a_n < n+y _2\sqrt{n}$.
On a donc $\quad a_n = n + {\rm O}(\sqrt{n})$.

jandri

C'est cela mais on obtient mieux qu'un reste en $O(\sqrt n)$.

En effet on a prouvé par la définition d'une limite que $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{a_n-n}{\sqrt n}=y_0=L^{-1}(\lambda)$.

On a donc $a_n=n+y_0\sqrt n +o(\sqrt n)$.

Une remarque: on voit dès le départ qu'il faudra dériver trois fois la fonction $x \mapsto -tx+x^2\ln\left(1+\frac{t}{x}\right)$ pour se débarrasser du logarithme et obtenir une fraction rationnelle.

zorg

OK j'ai compris merci.