Fonction Riemann intégrable

Bonsoir

J'ai un exercice où je dois montrer que la fonction définie par $f(x)= \sin(1/x)$ si $x$ dans $]0;1]$ et 0 si $x=0$ est Riemann intégrable en utilisant les sommes de Darboux mais j'avoue que je ne vois pas trop comment faire...
Est-ce que je dois introduire une subdivision et montrer la correspondance entre les sommes sup et inf ou alors je dois encadrer par deux fonctions en escalier dont la différence des intégrales tend vers 0 ?..
Merci !

Réponses

  • Qu'as-tu dans ton cours comme critère de Riemann-intégrabilité ?
  • Le seul critère que j'ai c'est $f$ bornée sur $[a,b]$ est Riemann intégrable si et seulement si pour tout $\epsilon >0$ il existe $s$ subdivision de $[a,b]$ telle que $D(f,s)-d(f,s)< \epsilon$ ...
  • Si tu sais que toute fonction continue sur $[a,b]$ est Riemann intégrable, alors tu peux le montrer comme ceci :

    Soit $\epsilon > 0$,

    $f$ est continue sur $[\epsilon, 1]$, donc Riemann intégrable sur cet intervalle, donc il existe une subdivision $s = (\epsilon = x_1 < x_2 < \cdots < x_n = 1)$ de $[\epsilon, 1]$ telle que $D(f,s)- d(f,s) < \epsilon$

    Mais alors $s' = (x_0 = 0 < x_1 = \epsilon < x_2 < \cdots < x_n)$ est une subdivision de $[0,1]$ qui vérifie

    $D(f,s')- d(f,s') < 3\epsilon$
  • Pour info:
    Soit $f:[a,b]\to \R$ une fonction. Si pour tout $\varepsilon >0$ il existe des fonctions Riemann-intégrables $g,h:[a,b]\to \R$ telles que $g \leq f \leq h$ et $\int_{a,b} h-g\leq \varepsilon$, alors $f$ est Riemann-intégrable.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Super merci les gars c'est un peu comme ça que j'avais essayé de le montrer sauf que j'avais voulu le faire en introduisant une subdivision uniforme sur $[0,\epsilon]$
    J'ai aussi vu un autre théorème mais je n'ai pas pu trouver la démonstration, si quelqu'un pouvait m'indiquer une piste pour le montrer ou me donner un lien de la démonstration ce serait cool
    Théorème: $f$ est $Riemann-intégrable$ sur $[a,b]$ ssi:

    - $f$ est bornée sur $[a,b]$
    - $f$ est continue presque-partout sur $[a,b]$
  • Ecrit tel quel ce n'est pas exact....
    Pour une fonction bornée $f$ : $f$ est Riemann-intégrable est équivalent à ($f$ est Lebesgue intégrable) et l'ensemble de ses points de discontinuités est de mesure (de Lebesgue) nulle.
  • C'est pas pareil ? Cela ne veut pas dire que l'ensemble de ses points de discontinuité est négligeable ?
  • Cependant trouver un critère de R-intégrabilité (dans ses prémices apparemment) qui utilise la L-intégrabilité, c'est tout de même culotté, non ?
    En revanche, parler de "presque partout" pour Riemann, c'est aussi parler de la théorie de la mesure (de laquelle d'ailleurs ?).

    Edit : je viens de voir le message qui précède le lien. Négligeable, dans quelle théorie ?
  • On peut définir la négligeabilité sans avoir présenté la théorie de la mesure. Une partie $A$ de $\mathbb R$ est négligeable si pour tout $\varepsilon >0$ il existe une suite d'intervalles $I_n$ dont la réunion contient $A$ et dont la somme des longueurs est inférieure à $\varepsilon $.
  • @Senpai tel que tu avais énoncé le théorème, c'est faux (ou imprécis).... Exemple : $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$ est Riemann intégrable dans un voisinage de $0^{+}$ mais non bornée...
  • @BobbyJoe
    La R-intégrabilité concerne une fonction définie sur un segment. La fonction $ x\mapsto \sqrt{x}$ est effectivement R-intégrable sutr tout segment $[0,a],a>0$ parce qu'elle est continue. Maintenant, qu'elle ne soit pas bornée sur $\mathbb R_+$, ça n'a rien à voir avec la question de sa R-intégrabilité sur tout $[0,a],a>0$.
  • Pourtant il s'était placé sur un segment $[a,b]$.

    Edit : @Chaurien a été plus précis que moi.
  • Le critère de Lebesgue de R-intégrabilité est bien celui qui a été rappelé par Senpai.
    Au lieu d'utiliser les mots « presque-partout », on peut dire que l'ensemble des points de discontinuité est négligeable, mais ça revient au même.
    Voir par exemple : http://www.math.ncku.edu.tw/~rchen/Advanced Calculus/Lebesgue Criterion for Riemann Integrability.pdf
  • il fallait lire évidemment l'inverse $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ^^ mais visiblement, l'intégrabilité pour Riemann n'a de ses que pour les fonctions bornées sur des segments... donc autant le dire en prémice, c'est ça que je voulais dire!
  • BobbyJoe a changé sa fonction, pour nous parler de $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$, bon. L'expression « R-intégrable dans un voisinage de $0^+$ » est trop imprécise. Une fonction d'une variable réelle est, ou n'est pas, R-intégrable sur un segment de $\mathbb R$, point-barre.
    Une fonction R-intégrable sur un segment est forcément une fonction bornée. Selon les présentations de la R-intégrale, ça découle de la définition ou bien c'est posé dans la définition.
    Alors si l'on considère la fonction $x\mapsto f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ sur un segment $[0,a],a>0$, en posant $f(0)=$ n'importe quoi, cette fonction n'est pas R-intégrable sur $[0,a]$, parce qu'elle n'est pas bornée sur $[0,a]$.
    C'est bien pour ça qu'on introduit les intégrales impropres ou généralisées.
    De même la fonction $x\mapsto \frac{\sin x}{x}$ n'est pas Lebesgue-intégrable sur $[0,+\infty[$, mais on n'en fait pas toute une histoire.
    Bonne après-midi.
    Fr. Ch.
  • @Chaurien Merci pour cette intervention précieuse: Comme toujours ^^
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.