Simulation d'un processus stochastique

Saturne

Bonjour,

J'aimerais simuler ce processus défini sur l'image ci-dessous, où $M$ est une matrice négative et $Q$ une matrice inversible.
Sauriez-vous m'aiguiller ? Je n'ai jamais simulé un processus stochastique à temps continu, je ne sais pas du tout quoi faire. Un lien vers un document qui explique ça me convient.
Eventuellement je peux utiliser une librairie R pour simuler le brownien (et peut-être le Ornstein-Uhlenbeck unidimensionnel si ça peut aider).

afk

Bonsoir,

Tu devrais commencer par un Brownien puis un OU unidimensionnel avant de considérer ton processus.

Pour un Brownien, le plus simple est de choisir des temps de discrétisations $(t_i)$ et d'utiliser le fait que le accroissement sont indépendents de loi Gaussienne connue:
$$
W_{t_{i+1}} = W_t + \sqrt{t_{i+1}-t_i}Z_{i+1}
$$
ou les $(Z_i)$ sont des variables Gaussiennes standard indépendantes.

Pour le OU 1D, on a
$$
dX_t = -\lambda X_t dt + \sigma dW_t
$$
Une possibilité est d'utiliser bêtement le schéma d'Euler où on "freeze" le drift au pas précédent:
$$
X_{t_{i+1}} \approx X_{t_i} - \lambda X_{t_i} (t_{i+1} - t_i) + \sigma (W_{t_{i+1}} - W_{t_i})
$$
On peut aussi être plus précis: l'équation s'intègre en
$$
X_{t_{i+1}} = e^{-\lambda(t_{i+1}-t_i)}X_{t_i} + e^{-\lambda t_{i+1} } \int_{t_i}^{t_{i+1}} \sigma e^{\lambda t} dW_t
$$
L'intégrale stochastique est une Gaussienne centrée de variance que je te laisse calculer et qui est indépendente de ce qui se passe avant $t_i$. Donc on a un schéma exacte contrairement a Euler qui faisait une erreur de discretisation et requiert donc des pas de temps petits.

Pour le cas multidimensionnel, tu peux toujours appliquer Euler bêtement mais là encore tu peux simuler de façon exacte. Typiquement, tu peux diagonaliser $M$ et te retrouver avec des OU unidimensionnel mais dont les accroissements sont corrélés. Pour générer les incréments corrélés il faut appliquer Cholesky à leur matrice de covariance.

Saturne

Merci afk !