Opérateur compact

Krokop

Bonsoir,

Soit $K$ un opérateur compact sur un espace de Banach $E.$ Soit $T=I-K$

J'ai réussi à montrer que $ Ker(I-K)$ est dimension finie (via le Théorème de Riesz).

Mon but est de montrer que $T(E)$ est fermée. Pour ce faire je prends $u_0\in \overline{T(E)},$ il existe alors une suite $u$ d'éléments de $E$ qui converge vers $u_0.$
Si la suite est bornée alors j'y arrive, par contre si elle n'est pas bornée, je ne vois du tout.

Bon j'imagine qu'il faut se ramener à ça, mais comment ?

gebrane

Ecris tout simplement que $Ker(T) \bigoplus F=E$ avec $F$ un s.e fermé de $E$ et montre que $T$ est injectif sur $F$.

Krokop

Merci gebrane, c'est aussi la méthode du poly que je lis (il y a du travail avant quand même, supplémentaire topologique, si T injectif sur $F$ alors T(E) fermé car $\Vert T(x) \Vert\ge C\Vert x\Vert$) mais je voulais savoir si on pouvait continuer "à la main".

gebrane

Qu'est ce que tu n'as pas compris dans la méthode de ton Poly ?
Si tu veux chercher une autre démonstration , libre à toi

Tryss

"Si la suite est bornée alors j'y arrive, par contre si elle n'est pas bornée, je ne vois du tout."

Est-ce qu'une suite non bornée peut converger vers un élément $u_0 \in E$?

Krokop

Ouuups, bien vu Tryss, on a $$u_n-Ku_n\xrightarrow[n\to \infty]{} u_0.
$$ Je me suis mal exprimé sur mon premier post.