Intégrale à paramètres

Harastieu

Bonjour
Je bloque sur deux questions de mon DM dont voici l'énoncé.

Énoncé : On note $J=]-1,1[$. On définit la fonction $L$ de $\mathbb{R}$ dans $[0, +\infty]$ en posant, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $$
L(x)=\frac{2}{\pi}\int_\mathbb{R} \frac{e^{xt}}{e^{t}+e^{-t}} \, \mathrm{d}t.
$$ 1. Montrer que pour tout $x \in J$, $L(x)$ est finie. Montrer que si $x \notin J$, $L(x)=+\infty$

Pour la première question, en partant de $x \in ]-1, 1[ $ j'ai trouvé un encadrement strict de $L(x)$ et j'en ai déduit que $L(x)$ était finie, sauf que j'aurais pu faire le même genre d'encadrement entre $]-2, 2[$ et montrer aussi que $L(x)$ était finie sauf que je suis censé trouver qu'entre $[1, 2[$ $L(x)=+\infty$, quelqu'un pourrait-il me donner un coup de main ? :-)

2. Soit $A \in ]0, 1[$.
(a) Montrer que pour tout $x \in ]-A,A[$ et pour tout $t \in \mathbb{R}$, $e^{xt} \leq e^{A |t|}$.
(b) Montrer que $L$ est de classe $C^{2}$ sur $]-A, A[$ et exprimer $L'$ et $L''$ sous forme intégrale.

Pour la question 2 (a) ça va mais pour la 2(b), je n'arrive pas à trouver de majoration de la dérivée de $\dfrac{e^{xt}}{e^{t}+e^{-t}}$ pour montrer qu'elle est de classe $C^{1}$. Quelqu'un a-t-il une astuce ?
Sinon en cours je viens de voir le théorème de dérivabilité sous le signe intégrale pour les intégrales à paramètres donc c'est ce que j'essaye d'utiliser dans la question 2(b).

Merci d'avance pour votre aide !
Bonne journée,
Harastieu

YvesM

Bonjour,

Calcule un équivalent de l’integrande aux bornes...

Tryss

Pour ta question 1), si tu ne donnes pas l'encadrement que tu as trouvé, difficile de t'aider

Harastieu

@YvesM Je vais essayer, mais je ne suis pas certain de réussir..

@Tryss Voici l'encadrement que je trouve :

$ 0 \leq L(x) \leq \frac{2}{\pi} \displaystyle \int_\mathbb{{R}_{+}^{*}} \frac{e^{t}}{e^{t}+e^{-t}} \, \mathrm{d}t + \frac{2}{\pi} \displaystyle \int_\mathbb{{R}_{-}^{*}} \frac{e^{-t}}{e^{t}+e^{-t}} \, \mathrm{d}t $

Poirot

Ton encadrement est correct, mais ton majorant vaut tout simplement $+\infty$ ! Ici il faudrait juste que tu parviennes à montrer que la fonction $x \mapsto \frac{\rm{e}^{-xt}}{\rm{e}^t + \rm{e}^{-t}}$ est intégrable sur $\mathbb R$ quand $|x| < 1$. Pour ça, il te suffit d'étudier cette fonction en les infinis car...?

Fin de partie

Sauf erreur, on peut "calculer" cette intégrale.

Sauf erreur toujours on a:

$\displaystyle L(x)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty} \frac{t^x}{1+t^2}\,dt$

PS:
Pour montrer qu'une expression positive tend vers l'infini c'est généralement plutôt d'une minoration d' par un truc qui tend vers l'infini dont on a besoin.

gebrane

La meilleure méthode ( plus économique) est celle de YvesM


en$ +\infty, \quad f(x)\sim e^{(x-1)t}$ donc intégrable en $+\infty$ si ....
en $-\infty, \quad f(x)\sim$ ....... donc intégrable en $-\infty$ si ....

Fin de partie

Sans aucun doute.

Quand je vois une intégrale qu'on peut "calculer" assez "facilement" je ne peux m'empêcher de tenter de le faire. Mais à la fin, je doute que tout le monde sache pour quelles valeurs de $x$ réelles, $\Gamma(x)$ est définie. :-D

gebrane

@FDP

Lorsque l'auteur du fil aura ces réponses J'aimerais discuter sur le calcul de L(x)

YvesM

Bonjour,

Attention à ne pas faire une erreur de raisonnement : on ne peut pas faire un changement de variables pour montrer qu’une intégrale existe. Il faut d’abord montrer l’existence. Sinon on montre juste une implication : si l’integrale existe, alors ... et on ne peut rien dire sur l’existence. Non ?

Fin de partie

YvesM:

Je ne suis pas d'accord avec toi. D'autant plus que l'intégrande est strictement positive.

YvesM

Bonjour @Fin de partie,

C'est ton droit. Mais tu ne montres pas l'existence. Tu écris simplement, si l'intégrale existe, alors elle vaut ça. Ce n'est pas faux. Mais ce n'est pas la réponse à la question posée qui porte sur l'existence.

Cyrano

YvesM : Ce que tu dis n'est pas clair. Il est parfaitement exact de dire "Une intégrale existe si et seulement si elle existe après un changement de variables."

Fin de partie

L'ensemble des valeurs de x pour lesquelles convergent ces deux intégrales est le MEME.

(On a , je ne vous apprends rien, aussi un changement de variable pour passer de la seconde intégrale à la première.)

YvesM

Bonjour,

@Cyrano, il faut alors le rédiger comme tel. (Et ne pas omettre la réciproque.)
Et si une personne écrit ce théorème, je lui demanderais de le démontrer (surtout pour vérifier les conditions du changement de variables).

Fin de partie

YvesM:

Je n'ai rien rédigé dans la réponse que tu contestes et qui était seulement une indication.
Dans mon esprit, c'est comme dit Cyrano, on a équivalence entre le fait que l'intégrale converge avant et après le changement de variable.

AxelGodotL3MATHSUBSVANNES

Bonjour,
Nous avons eu un problème similaire pour un de nos exercices a rendre pour un de nos DM et donc après quelque réflexions voici ce a quoi nous avons aboutis :
$\displaystyle L(x) = \frac{2}{\pi}\int_ \mathbb{R} \frac{e^{xt}}{e^{t}+e^{-t}}\,dt$
$\displaystyle L(x) = \frac{2}{\pi}\int_ \mathbb{{R}^{+}} \frac{e^{xt}}{e^{t}+e^{-t}}\,dt + \frac{2}{\pi}\int_ \mathbb{{R}^{-}} \frac{e^{xt}}{e^{t}+e^{-t}}\,dt$

Pour $\mathbb{{R}^{+}}$, on a :
$\displaystyle \int_ \mathbb{{R}^{+}} \frac{e^{xt}}{e^{t}+e^{-t}}\,dt = \int_ \mathbb{{R}^{+}} \frac{e^{-(1-x)t}}{1+e^{-2t}}\,dt$
Or, comme $\displaystyle x \in ]-1,1[$, on a $\displaystyle -(1-x)<0$, d'où :
$\displaystyle \int_ \mathbb{{R}^{+}} \frac{e^{-(1-x)t}}{1+e^{-2t}}\,dt \leq \int_ \mathbb{{R}^{+}} e^{-(1-x)t}\,dt$
Comme $\displaystyle \int_ \mathbb{{R}^{+}} e^{-(1-x)t}\,dt$ est fini, on a bien $\displaystyle \int_ \mathbb{{R}^{+}} \frac{e^{-(1-x)t}}{1+e^{-2t}}\,dt$ qui l'est également car inférieur ou égale à une intégrale finie.

Pour $\mathbb{{R}^{-}}$, un simple changement de variable nous permet d'arriver au même résultat. Il suffit de poser $\displaystyle u=-t $ et on obtient $\displaystyle\int_ \mathbb{{R}^{-}} \frac{e^{xt}}{e^{t}+e^{-t}}\,dt = \int_ \mathbb{{R}^{+}} \frac{e^{xu}}{e^{-u}+e^{u}}\,dt$ puis il suffit d'appliquer le même raisonnement ^^

Voilà pour le 1) merci de me tenir au courant si quelques erreur se seraient glissés dans ces calcules.
J'espère que le raisonnement vous a été utile. Ce fut un plaisir de vous aider Harastieu.

Cordialement

Fin de partie

AxelGodotL3MATHSUBSVANNES:

Comparer des intégrales dont on ne sait pas à priori si les deux sont convergentes BOF !

C'est sur l'intégrande qu'il faut raisonner. (intégrande qui a un signe constant)