Primitive de $e^{-\frac{1}{2}x^{2}}$

Harastieu

Bonsoir
Dans le cadre d'un exercice sur la loi normale, je dois calculer une primitive de $e^{-\frac{x^{2}}{2}}$
Quelqu'un saurait comment la trouver ? J'avoue sécher...
Cordialement,
Harastieu

gebrane

Une primitive de ta fonction de Gauss est $\int_0^x e^{-\frac{t^{2}}{2}} dt $ Tu ne peux pas faire mieux ( Tu ne peux pas l'exprimer à l'aide des fonctions usuelles)

Poirot

On ne dit pas la primitive mais une primitive, ce n'est pas faute de le matraquer à partir de la Terminale !

Sinon gebrane a essentiellement tout dit, on ne peut pas exprimer les primitives de ta fonction à l'aide des fonctions usuelles et la composition. Mais tu as toujours la représentation intégrale qu'il a donnée.

Chaurien

Il y a des tables de valeurs de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. C'est peut-être ceci dont tu as besoin pour ton exercice.

Harastieu

D'accord, merci pour vos renseignements !

Bonne soirée

mustapha

Le sujet d'agrégation en 1993 ( https://agreg.org/sujets/M93AD1E.PDF ) avait pour but de montrer justement que cette primitive ne peut pas s'exprimer à l'aide des fonctions usuelles.Inutile alors de chercher

Fin de partie

Harastieu:

A mon humble avis et sans offense, tu n'as pas compris la question.

Quelle est cette question précisément?
Je pense que tu en fais une mauvaise traduction.

PS:
Tu ne seras sans doute pas surpris d'apprendre qu'on sait calculer exactement

$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2}}\,dx$ et $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2}}\,dx$

Chaurien

La question des primitives élémentaires est très intéressante mais très difficile.
Le corrigé de l'agreg 1993 se trouve dans la RMS 1993-94 n° 2

Il y a eu un article de Bernard Randé dans la RMS 1983-84, n° 9.
A l'époque, il y a eu aussi un exposé au séminaire Bourbaki :
http://www.numdam.org/article/SB_1983-1984__26__295_0.pdf

Il y a eu aussi un problème au concours d'entrée à Ulm en 1995, difficile aussi, et deux fils de discussion très intéressants sur ce forum, dans l'un desquels Skyffer3 a posté son corrigé :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,859113,page=1
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,861176

Bonne soirée.
Fr.Ch.

Chalk

Quelle mémoire chaurien ! Et pas que pour mes posts.

Chaurien

@Skyffer3
Ce n'est pas que de la mémoire. Je me suis intéressé aussi à cette question, j'avais des références disponibles et j'ai fait une recherche sur Internet, ce n'est pas très difficile.

JJ

$$\int_0^\infty e^{-\frac{1}{2}x^{2}}dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$$
$$\int e^{-\frac{1}{2}x^{2}}dx =\sqrt{ \frac{\pi}{2}}\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)+\text{constante}$$
Cette primitive ne peut pas s'exprimer avec un nombre fini de fonctions élémentaires. On peut l'exprimer sous forme de série infinie, ou faire appel à une fonction dite "spéciale". En l'occurrence la fonction erf(x) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_d'erreur
Il est fréquent de rencontrer des intégrales dont une expression explicite comporte une fonction spéciale. Un article de vulgarisation concernant l'usage de fonctions spéciales : https://fr.scribd.com/doc/14623310/Safari-on-the-country-of-the-Special-Functions-Safari-au-pays-des-fonctions-speciales

Fin de partie

Quand on rencontre une fonction qu'on ne sait pas exprimer "simplement" à l'aide d'autres fonctions déjà connues on lui donne un nom, on dit qu'elle est "spéciale" et elle rentre désormais dans la "table des éléments atomiques" des fonctions.

JJ

Oui, d'accord avec Fin de partie. Mais encore faut-il que la fonction spéciale que l'on vient de créer présente un intérêt tel qu'elle devienne connue, soit répertoriée dans les ouvrages de mathématiques, qu'elle soit étudiée, que des publications amassent une quantité de connaissances sur ses propriétés et parfois que cette fonction soit implémentées dans les logiciels de calcul. En un mot, que la dite fonction spéciale acquiert un statut supérieur en entrant dans un club prestigieux de fonctions spéciales standard.

jean lismonde

bonjour

nous sommes contents de retrouver notre ami JJ (Jean Jacquelin) !

qui est un spécialiste reconnu des fonctions spéciales en mathématique

cordialement

Fin de partie

JJ:

Bien entendu. Mais une fonction qui aujourd'hui nous semble "bête" et sans intérêt peut demain se voir dérouler le tapis rouge et baptiser parce qu'on lui aura trouvé un intérêt.

Chalk

Il faut aussi idéalement essayer de prouver que cette nouvelle fonction spéciale n'est pas exprimable facilement à partir de celles déjà connues (montrer que ce n'est pas une fonction élémentaire n'est donc même pas forcément suffisant). Et ça c'est clairement un problème extrêmement difficile.

gebrane

La preuve du cas $x\to e^{x^2}$ reste-il aussi valable pour $x\to e^{P(x)}$ avec P une fonction polynôme de degré >1 ?