Limite de $n!^{1/n}$
Hello à tous,
Auriez-vous une preuve simple de $\lim n!^{^{\tfrac{1}n}} = +\infty$ ?
Exposable en fin de Terminale S.
Actuellement, la preuve que je détiens passe par $\ln(n!) \sim \ln(n^n)$.
Evidemment, je peux adapter la démonstration de ce résultat pour un lycéen.
Mais peut-être que je passe à côté d'une astuce simple ?!
Clairon.
Auriez-vous une preuve simple de $\lim n!^{^{\tfrac{1}n}} = +\infty$ ?
Exposable en fin de Terminale S.
Actuellement, la preuve que je détiens passe par $\ln(n!) \sim \ln(n^n)$.
Evidemment, je peux adapter la démonstration de ce résultat pour un lycéen.
Mais peut-être que je passe à côté d'une astuce simple ?!
Clairon.
Réponses
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Écrire $n!=1\times 2 \times ... \times (n/2)\times (n/2+1) ... \times n \ge (n/2)! (n/2)^{n/2}$.
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Tout dépend de ce qui est supposé connu : je ne sais pas au juste ce qui est au programme de maths de TS.
Si l'on connaît la fonction $\ln$ et le nombre $e$, et si l'on sait que $\ln (1+x)<x$ pour $x>0$, on peut prouver par récurrence que : $(n!)^{\frac 1n}>\frac ne$.
On peut aussi prouver non moins élémentairement que pour $n\geq 6$ on a : $(n!)^{\frac 1n}<\frac n2$.
Si l'on sait primitiver la fonction $\ln$, on peut préciser ceci.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Un bon réflexe à avoir c'est de penser que prendre le log aidera à y voir plus clair dans ce genre d'expressions (*):
le log vaut $$\frac{\log 1+\log 2+\log 3+\cdots+ \log n}{n}.
$$ Or dans la somme, au moins $(n-1)/2$ termes dépassent $\log(n/2)$. Finalement, le $\log$ dépasse
$\dfrac{n-1}{2n}\log(n/2)$, qui a une limite infinie en l'infini. Il ne te reste plus qu'à prendre l'exponentielle.
(*) ici ce n'est pas nécessaire, mais ça aide quand même à voir, je trouve. -
Ça revient exactement à ce que j'ai proposé, sauf que je me passe du logarithme...
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Bonjour @alea.
Tu peux aussi imiter la démonstration de la moyenne de Cesàro.
Soit $A>0$. Il existe $p$ tel que $n>p\implies\log p>A+1$ (merci d'avoir résisté à l'affreux $\ln$) .
Alors $\dfrac{\log2+\cdots+\log n}n>\dfrac{\log2+\cdots+\log p}n+\dfrac{n-p}n(A+1)$.
Pour $n>q$ on a $\dfrac{\log2+\cdots+\log p}n+\dfrac{-p}nA>-1$. -
Encore une fois, inutile de passer au logarithme. Écrire une fois sur deux $log$ au lieu de $\log$, et ne pas mettre les parenthèses, je trouve cela non moins affreux.
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Je ne sais pas si ça va convenir mais tous cela me rappel ceci :
$$\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\geq \frac{4^n}{2n+1}$$
Ou encore :
$$(2n)!\geq \frac{4^n}{2n+1}(n!)^2$$
Maintenant on passe à la puissance voulue :
1)$$[(2n)!]^{\frac{1}{2n}}\geq [\frac{4^n}{2n+1}]^{\frac{1}{2n}}(n!)^{\frac{1}{n}}$$
En réitérant le processus on trouve :
2)$$[(n)!]^{\frac{1}{n}}\geq [\frac{4^{\frac{n}{2}}}{n+1}]^{\frac{1}{n}}((\frac{n}{2})!)^{\frac{2}{n}}$$
Du coup en remplaçant dans 1 l'inégalité 2 on finit par trouver une sorte de récurrence qui amène au résultat .
Ps : La méthode de Sha me semble la plus adéquate .Peut-être ai-je déliré mais je n'ai pas le temps de savoir ou...
PPs : je n'ai rien inventé regardez par ici https://pdfs.semanticscholar.org/6760/37ceea913873570659bd77eb833515b6588a.pdf -
S'il reste encore des maths en TS, on peut aussi minorer $\dfrac{\log2+\cdots+\log n}n$ par une intégrale ; c'est de la plus grosse artillerie que les méthodes proposées, mais cela met en \oe uvre un principe bien fécond.
Cordialement, j__j -
Shah d'Ock a écrit:Ça revient exactement à ce que j'ai proposé
C'est exact, mais comment définis-tu, en terminale (ou même L1), $\left( 5/2 \right)!$ (dans le cas où $n$ est impair) ? -
Alors la je crois qu'on tient la palme :
Usant d'une variante d'une astuce de Gauss on obtient : $$ (n!)^2 = (1 \cdot n) (2 \cdot (n-1)) (3 \cdot (n-2)) \cdots ((n-2) \cdot 3) ((n-1) \cdot 2) (n \cdot 1) \ge n^n $$ Ainsi $$ \sqrt[n]{n!} \ge \sqrt{n} \to \infty $$
https://math.stackexchange.com/questions/136626/lim-limits-n-to-infty-sqrtnn-is-infinite -
Je prends connaissance de toutes vos solutions. C'est super ! Merci à tous pour vos idées.
Même si cela relève de "l'astuce", j'ai un petit faible pour la dernière solution "à la Gauss".john_john a écrit:on peut aussi minorer $\dfrac{\log2+\cdots+\log n}n$ par une intégrale ; c'est de la plus grosse artillerie que les méthodes proposées, mais cela met en \oe uvre un principe bien fécond. -
Noix de toto: ayant posté à minuit passé, et m'adressant à un prof, je me suis permis d'avoir la flemme d'écrire $\lfloor n/2 \rfloor$.
-
Oui, c'est bien ainsi que je l'avais compris, et mon message était quelque peu taquin...Ceci dit, parler en même temps de partie entière et de factorielle à des lycéens d'aujourd'hui, j'imagine aisément que ça ne doit pas si simple que ça.
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