Déduction de l'inégalité de Minkowski

Harastieu

Bonjour à tous !

Petit blocage sur la dernière question de mon Dm !

Je viens, après plusieurs questions de démontrer l'inégalité de Hölder puis celle de Minkowski,

On me demande alors ceci :

En déduire que $\Vert \cdot \Vert_{p}$ est une norme. On pose

$\Vert x \Vert_{\infty}$ = $max${$\vert x_{i} \vert : i=1...n$}

montrer que si $1\leq r \leq s $ alors $\Vert x \Vert_{r}=1 \Rightarrow \Vert x \Vert_{s} \leq 1.$.
En déduire que pour tout $x \in {\mathbb{K}}^{n}$,

$\Vert x \Vert_{\infty} \leq \Vert x \Vert_{s} \leq \Vert x \Vert_{r} \leq n^{\frac{1}{r}}\Vert x \Vert_{\infty}$.

Et c'est justement sur la déduction que je bloque, je ne sais pas comment en déduire ceci...

Quelqu'un aurait une idée ?

Merci d'avance et bon week end !

Harastieu

Poirot

Il te suffit d'utiliser ce que tu viens de montrer mais avec le vecteur $\frac{x}{||x||_r}$ !

Harastieu

Ah mais oui ! Merci beaucoup !

J'ai pu finir entièrement mon Dm comme ça !

Encore merci, et bon week-end

Poirot

De rien, bonne fin de week-end ;-)