Bourbaki, vraiment pour comprendre (2)bis

pldx1

Bonsoir
J'ai un doute concernant l'affirmation :
$$\alpha\text{ est un ordinal}\Leftrightarrow\alpha=\tau_{_{\text{0}}}\left((\exists\,\text{E})(\exists\,\Gamma)\left(\text{o}=\tau_{{\bf x}}(\text{Is}(\Gamma,\,{\bf x}))\mbox{ et }\Gamma\in\text{O}(\text{E})\right)\right)$$
En regardant attentivement l'assemblage de signes ::o$\doteq \tau_{_{\text{0}}}\left((\exists\,\text{E})(\exists\,\Gamma)\left(\text{o}=\tau_{{\bf x}}(\text{Is}(\Gamma,\,{\bf x}))\mbox{ et }\Gamma\in\text{O}(\text{E})\right)\right)$, on constate que la lettre $\alpha$ n'y figure pas.

Alors $\forall \alpha\; : / \alpha\text{ est un ordinal}\Leftrightarrow\alpha=$::o veut dire que tous les ordinaux sont égaux entre eux. Cela a évidemment l'avantage de simplifier la question.

Cordialement, Pierre.

Thierry Poma

Bonsoir Pldx1,

Que penser de ceci ?\[\newcommand{\MySet}[2]{\left\{\begin{array}{c|c}#1\,&\,{#2}\end{array}\right\}}\small\alpha\text{ est un ordinal }\Leftrightarrow(\exists\,\text{E})\left(\alpha=\tau_{{\text{o}}}\left((\exists\,\Gamma)\left(\text{o}=\tau_{{\bf x}}(\text{Is}(\Gamma,\,{\bf x}))\mbox{ et }\Gamma\in\text{O}(\text{E})\right)\right)\right)\Leftrightarrow(\exists\,\text{E})\left(\alpha\in\MySet{\text{o}}{(\exists\,\Gamma)\left(\text{o}=\tau_{{\bf x}}(\text{Is}(\Gamma,\,{\bf x}))\mbox{ et }\Gamma\in\text{O}(\text{E})\right)}\right)\]Si c'est correct, il faudra veiller à apporter la même modification pour $\beta$. Là, je vais me coucher, car je suis très fatigué.

Cordialement,

Thierry

Thierry Poma

Bonjour,

Premières rectifications :

De mon boulot : Rappelons les notations \[\text{O}(u)=\MySet{s}{\begin{gather*}s\in\mathfrak{P}(u\times{u})\mbox{ et }s\circ{s}=s\mbox{ et }s\cap\overset{-1}{s}=\Delta_u\mbox{ et }\\(\forall\,{\bf x})\left({\bf x}\in\mathfrak{P}(u)-\{\emptyset\}\Rightarrow(\exists\,m)(m\in{{\bf x}}\mbox{ et }(\forall\,e)(e\in{\bf x}\Rightarrow(m,\,e)\in{s}))\right)\end{gather*}}\]avec\[\Delta_u=\MySet{(x,\,x)}{x\in{u}}\]Ainsi a-t-on\[\alpha\text{ est un ordinal}\Leftrightarrow(\exists\,\text{E})(\exists\,\Gamma)\left(\alpha=\tau_{{\bf x}}(\text{Is}(\Gamma,\,{\bf x}))\mbox{ et }\Gamma\in\text{O}(\text{E})\right)\]de sorte que, si $\alpha$ est un ordinal, l'ensemble $\text{pr}_1\,\alpha$ est alors bien ordonné par [le type d'ordre] $\alpha$ (il est à noter que $\alpha$ est un graphe et pas une correspondance. (Cf. E III.2)). Partant, en reprenant les hypothèses de l'énoncé,\[\beta\text{ est un ordinal}\mbox{ et }\beta\leqslant\alpha\] est équivalent à (sauf erreurs !)\[\small(\exists\,\text{S}_{\alpha})(\exists\,\mathfrak{S}_{\alpha})(\exists\,f)(\exists\,\Gamma_f)\left(\begin{gather*}(\exists\,\text{E})(\exists\,\Gamma)\left(\beta=\tau_{{\bf x}}(\text{Is}(\Gamma,\,{\bf x}))\mbox{ et }\Gamma\in\text{O}(\text{E})\right)\\\mbox{et}\\\text{S}_{\alpha}\in\mathfrak{P}(\text{pr}_1\,\alpha)\text{ et }\mathfrak{S}_{\alpha}=\alpha\cap(\text{S}_{\alpha}\times{\text{S}_{\alpha}})\\\mbox{et}\\f=(\Gamma_f,\,\text{pr}_1\,\beta,\,\text{S}_{\alpha})\text{ et }\Gamma_f\in\mathfrak{P}\left(\text{pr}_1\,\beta\times\text{S}_{\alpha}\right)\\\mbox{et }\\(\forall\,x)(\forall\,u)(\forall\,v)\left(\left((x,\,u)\in\Gamma_f\text{ et }(x,\,v)\in\Gamma_f\right)\Rightarrow(u=v)\right)\text{ et }(\forall\,x)(x\in\text{pr}_1\,\beta\Rightarrow(\exists\,y)((x,\,y)\in\Gamma_f))\\\mbox{et}\\(\forall\,u)(\forall\,v)\left((u,\,v)\in(\text{pr}_1\,\beta\times\text{pr}_1\,\beta)\setminus\Delta_{{\text{pr}_1\,\beta}}\Rightarrow(f(u),\,f(v))\in(\text{S}_{\alpha}\times\text{S}_{\alpha})\setminus\Delta_{_{\text{S}_{\alpha}}}\right)\text{ et }(\forall\,y)(y\in\text{S}_{\alpha}\Rightarrow(\exists\,x)((x,\,y)\in\Gamma_f))\\\mbox{et}\\(\forall\,u)(\forall\,v)\left((u,\,v)\in\beta\Leftrightarrow(f(u),\,f(v))\in\mathfrak{S}_{\alpha}\right)\end{gather*}\right)\]Cette dernière relation n'est-elle pas collectivisante en $\beta$ ?
Bien cordialement,
Thierry
[Rectifié d'après l'une des remarques de 0ka. Merci. (T. P.)]

0ka

Bonjour Thierry POMA,
je viens de lire ton dernier message, il y a quelques coquilles je crois :
dans ta définition de $\text{O}(u)$ tu voulais sans doute dire $m \in \bf{x}$
c'est $\text{pr}_2\,\alpha$ ou $\text{pr}_3\,\alpha$ qui sont ordonnés par $\alpha$, pas $\text{pr}_1\,\alpha$
ça n'a pas de sens de mettre autre chose que une lettre après $\exists$ , en fait tu peux enlever tes indices.
À part ça je comprends pas pourquoi tu traduis l'énoncé en t’efforçant de pas utiliser les abréviations du livre. Tu poses la question à amatheur1 ?
Je veux dire forcément que elle est collectivisante, c'est ce que l'exercice demande de démontrer, mais en l'état on ne peut pas appliquer le critère C53.

amatheur1

pldx1 écrivait :
Bonjour.
On est donc arrivé au fait que $\left\{ o \,| \,(\exists\,\text{E} \subseteq F)(\exists\,\Gamma \in\text{O}(\text{E})) \left(o = \tau_{{\bf x}}(\text{Is}(\Gamma,\,{\bf x}) \right) \right\}$ est un ensemble.
Il reste à conclure: cet ensemble est-il ou non l'ensemble voulu ?

@pldx1
Bonsoir, à croire que j'en n'arriverai jamais à bout ! X:-(

Il est donc entendu que la relation $\mathcal{R} : "\exists (E, \Gamma) \Bigl (o=\tau_x (Is (\Gamma,x)) \text { et } (E, \Gamma) \in M \Bigr) "$ avec $M=\left\{(E, \Gamma) \,|\, (E, \Gamma) \in \mathfrak{P}(F) \times \{\underset {K \in \mathfrak{P}(F)}{\cup} O(K)\} \text{ et } pr_2 (E,\Gamma) \in O(E) \right\}$... est collectivisante en $(E, \Gamma)$

On rappelle que $F$ est tel que $Ord(F)=\alpha$, l'idée est donc de prouver que la relation $\mathcal{R'} : "\beta \text{ ordinal et } \beta\leqslant \alpha"$ est identique à $\mathcal{R}$

On procède par condition nécessaire et suffisante :

$\bullet\,$ soit $T \text{ quelconque} \in \mathfrak{P}(F)$, alors $T \subseteq F$ . Il s'ensuit que $O(T) = O(F)\text{ restreint à }T$ , on peut alors considérer l'injection canonique de $\left(T,O(T)\right)$ dans $\left(F,O(F)\right)$ comme un isomorphisme sur une partie de$\left(F,O(F)\right)$ , et par définition de $\leqslant$, on a $o=Ord(T) \leqslant Ord(F)=\alpha$.
En conclusion $\mathcal{R}$ entraîne $\mathcal{R'}$

$\bullet\,$ réciproquement : $\mathcal{R'} : "\beta \text{ ordinal } \leqslant \alpha"$ signifie par définition qu'il existe $E_\beta$ bien ordonné par $\underset {\beta}{\leqslant}$ tel que $Ord(E_\beta) =\beta$ , et un isomorphisme de $(E_\beta,\underset {\beta}{\leqslant})$ sur une partie $(E,\underset{E}{\leqslant})$ de $(F,\underset {\alpha}{\leqslant}) \,$
. On en déduit que $\underset {\alpha}{\leqslant}$ est élément de $O(F)$ et que $\underset{E}{\leqslant}$ (en fait $\underset {\alpha}{\leqslant}$ restreint à $E$) est élément de $O(E)$ avec $E\subseteq F$ , on note alors $\Gamma$ pour $\underset{E}{\leqslant}$
. Il s'ensuit que $\beta =\tau_x (Is (\underset {\beta}{\leqslant},x))=\tau_x (Is (\Gamma,x))$
. En conclusion, par $S5 : (\exists E) (\exists \Gamma) \Bigl(\beta =\tau_x (Is (\Gamma,x)) \text{ et } E \subseteq F \text{ et } \Gamma \in O(E)\Bigr) \longrightarrow \,$ on reconnait $\mathcal{R}$...
Par conséquent $\mathcal{R'}$ entraîne $\mathcal{R}$

$CQFD$

@Thierry POMA
Je n'ai sciemment pas encore regardé ta démonstration pour ne pas être influencé ;-)

pldx1

Mon cher amatheur.

Comme tu le sais, l'art du questionnement consiste à reposer, mine de rien, encore et toujours la même question... Le plus difficile étant, bien entendu, le "mine de rien": si l'on suggère la réponse, la question ne sert plus à rien.

Tu veux te servir de l'ensemble $M$ introduit par Thierry Poma. Pas de problème avec cela. On peut quand même, au passage, remarquer que cet ensemble est de taille colossale par rapport au problème à résoudre. Il n'y a pas besoin que $E$ décrive tout l'ensemble $\mathfrak{P}(F)$. Il suffit de prendre un représentant de chaque cardinal: lorsqu'il y a une bijection, il est possible de l'utiliser pour transporter une relation d'ordre d'un ensemble sur l'autre.
Et même comme cela, l'ensemble $M'$ ainsi obtenu reste colossal par rapport au problème à résoudre.

Pour $F=\omega$, l'ordinal $n\in \mathbb N$ est représenté $n!$ fois. L'ordinal $\omega$ lui même est représenté "un certain nombre de fois" ... (question: quel est donc ce nombre, c'est à dire le cardinal de l'ensemble des graphes d'ordre sur $\mathbb N$ qui sont de type $\omega$ ?)

Mais surtout, cet ensemble $M$ contient une description de tous les ordinaux décrivant un bon ordre sur l'ensemble $\mathbb N$. Et cela fait du monde (question: combien ?). Comme il a été déjà signalé, l'ensemble résultant contient aussi $\omega + 1, \omega \times \omega, \omega ^ \omega$ et bien d'autres. (question: quelle est sa borne supérieure ?)

Il reste donc à utiliser l'axiome de sélection pour ne garder que les ordinaux qui conviennent.
Au passage: les §9-10 que j'ai proposés ne se contentent pas de montrer l'existence de l'ensemble des ordinaux $\beta {\rm\; tels\; que\; } \beta < \alpha$. Ils en donnent une description très précise. Et l'on a un résultat encore plus simple et clair pour ce que Bourbaki appelle pseudo-ordinaux (et qui sont les ordinaux de tout le reste du monde). Peux-tu rappeler quel est ce résultat ?

Cordialement, Pierre.

amatheur1

Bonsoir Pierre,

S'entendre dire après de multiples tentatives infructueuses de preuves (à coup d'axiome de remplacement) que l'ensemble de base choisi est "trop conséquent", c'est pas cool :-X !!!, mais je reste zen...
Par contre, quand on me répond "il reste à utiliser l'axiome de sélection ...." pour dégraisser la bestiole, là je craque un peu X:-( car comme je l'ai déjà dit, tel que présenté par Bourbaki je trouve cet axiome compliqué à utiliser... par conséquent, je préfère abandonner (temporairement) cette voie et tenter une nouvelle approche :

- Si $F$ est un ensemble bien ordonné par $\underset {F}{\leqslant}\,\,$ tel que $Ord(F) = Ord(\underset {F}{\leqslant}) =\alpha$ , alors tout segment de $F$ est de la forme $A_x = ]\leftarrow,x[$ avec $x \in F$, de plus l'expression

$\xi \text{ ordinal et } \xi \leqslant \alpha$ est identique, d'après exercice 14, b), à :

$\xi \text{ : type d'ordre d'un ensemble bien ordonné et } \xi \text{ type d'ordre d'un segment de F }$, elle-même identique à :
$(\exists x) \Bigl( \xi = \, Ord(A_x) \text{ et } x \in F\Bigr)$ avec $Ord(A_x) = \tau_\Delta (Is(\Gamma,\Delta))$ et $\Gamma$ : ordre induit par $\underset {F}{\leqslant}$ sur $A_x$
Le critère $C53$ permet alors de conclure que $(\exists x) \Bigl( \xi = \, Ord(A_x) \text{ et } x \in F\Bigr)$ est collectivisante en $\xi\hspace{1 cm}CQFD$

qu'en penses-tu ?

Note: s'agissant de l'ordre sur $A_x$, il est important de considérer pour $\Gamma$, l'ordre induit par $\underset {F}{\leqslant}$ sur $A_x$ et pas un ordre quelconque car cela permet de s'assurer que $Ord(\Gamma) \leqslant \alpha$, c'est ce qui joue le rôle de l'axiome de sélection

- S'agissant de tes autres questions et ne voulant pas rester sans donner de réponse durant le weekend, je livre très très partiellement quelques réflexions:

$\bullet\,$ "lorsqu'il y a une bijection, il est possible de l'utiliser pour transporter une relation d'ordre d'un ensemble sur l'autre" :
Si $f$ est une bijection entre un ensemble $A$ bien ordonné par $\underset{A}{\leqslant}$ et un ensemble $B$, on peut définir sur $B$ une relation d'ordre $\underset{B}{\leqslant}$ par $b_1\underset{B}{\leqslant} b_2 \Leftrightarrow f^{-1}(b_1) \underset{A}{\leqslant}f^{-1}(b_2)$

$\bullet\,$"L'ensemble $M$ contient une description de tous les ordinaux décrivant un bon ordre sur l'ensemble $\mathbb N$. Et cela fait du monde (question: combien ?). Comme il a été déjà signalé, l'ensemble résultant contient aussi $\omega + 1, \omega \times \omega,\omega ^ \omega$ et bien d'autres. (question: quelle est sa borne supérieure ?)"
Pour l'instant je ne sais pas répondre ... Je constate néanmoins que pour un ensemble bien ordonné, non fini, de cardinal fixé on en déduit plusieurs ordinaux différents.
Simplement, quelques remarques concernant $F=\N$ :
- on a vu comment obtenir $\omega + 1$ et $\omega + \omega$
- pour $\omega \times \omega$ : je pense identifier $\N$ et $\N \times \N$ (voir figure), puis j'utilise l'ordre lexicographique, $\N$ étant muni de l'ordre usuel

- pour $\omega^{\omega}$ je voulais généraliser le procédé précédent, l'idée étant de préalablement trouver une partition de $\N$ en $\N$ ensembles de $\N$ éléments : j'ai pensé à un classement des entiers suivant le premier facteur de leur décomposition en nombre premiers, c'est à dire: l'ensemble $E_1$ de ceux dont le 1er facteur est 2, puis l'ensemble $E_2$ de ceux dont c'est 3, puis l'ensemble $E_3$ de ceux dont c'est 5 ... l'unicité de la décomposition et le fait que les premiers soient en nombre infini (dénombrable) "devraient suffire" à garantir la bijection.

Bref, ça laisse pas mal de choses en suspens...

Cordialement

pldx1

Caveat. L'ordinal $\omega^\omega$ est défini d'une certaine façon (exponentiation des ordinaux). Tandis que l'ensemble $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ est défini d'une autre façon... et les deux objets n'ont pas le même cardinal.

Cordialement, Pierre.

amatheur1

Mille excuses !!. Voilà ce qui arrive quand on tente de répondre à des heures où les gens sérieux dorment $\rightarrow$ on écrit n'importe quoi !
J'aurais du au moins supposer que l'exponentiation des ordinaux se faisait sur une base similaire à celle (déjà vue) des cardinaux, mais même là, je ne m'en serais pas sorti : je viens de voir que tout ça fait l'objet des exercices 17 et 18 à venir, et c'est nettement plus balèze...

Je laisse donc cette discussion ouverte et tacherai d'y revenir quand j'y verrai plus clair. Je décide de continuer avec l'exercice suivant.

Peux-tu juste me dire si mon approche concernant $Coll_{\xi} (\xi \text{ ordinal et } \xi \leqslant \alpha)$ est cette fois-ci la bonne ?

Cordialement

0ka

@amatheur1 : pldx1 avait dejà écrit ce raisonnement dans son premier message ! Apparemment tu as plutôt essayé de continuer son point 14, mais on ne peut pas conclure sans refaire le raisonnement des points 9-10-11, c'était une fausse piste

pldx1

Mon cher 0ka. Mon point 14 consistait à rappeler que le "critère C53", appellation bourbakiste du schéma d'axiomes de substitution, est : lorsque la relation $f$ est fonctionelle et la collection $A$ est un ensemble, alors la collection $\{f(x)| x\in A\}$ est aussi un ensemble. Il n'y a pas de fausse piste là dedans, mais un simple rappel du fait que si les $x$ ne sont pas restreints aux éléments d'un ensemble, le critère C53 devient inapplicable.

Autrement dit, la collection introduite par Thierry Poma (auquel mon §14 répondait) n'est autre que la collection de tous les ordinaux, objet qui est trop gros pour être un ensemble (il serait bien ordonné par inclusion, mais quel serait son type d'ordre ?).

Cordialement, Pierre.

0ka

Mouais. Je me suis demandé si ce point 14 était ironique ("on sort C53 de sa poche"), dans ce cas c'est pas très sympa d'avoir laissé amatheur1 poster plusieurs message en essayant d'aboutir avec le critère C53 à partir de cette assertion.

amatheur1

@Oka
Salut, et merci pour ton intervention.

Sache néanmoins que je commence à avoir l'habitude des quelques intervenants qui daignent me répondre, et pense avoir pris la mesure de chacun d'eux et de leur méthode. Par exemple, celle de pldx1 consiste souvent à poser des questions suffisamment orientées pour que la personne s'en pose à son tour et aille dans la bonne direction (je le cite: "la meilleure façon de trouver, c'est encore de continuer à chercher") - l'art de ne pas trop en dire, en quelque sorte. Je préfère ça à la solution brute, c'est mon côté masochiste:-D. Bon évidemment quelquefois ça peut durer plusieurs posts, comme tu l'as fait remarquer, mais c'est le jeu et j'en accepte les règles 8-)

Une question me turlupine serais-tu un oka qui a grandi (d'au moins une lettre) ? ;-)

Cordialement

Thierry Poma

Bonjour,

De mon boulot, texte susceptible d'évoluer : Conventionnellement et dans toute la suite, j'identifie l'ordre $\newcommand{\MySet}[2]{\left\{\begin{array}{c|c}#1\,&\,{#2}\end{array}\right\}}\text{O}_{\text{U}}=(\Gamma_{\text{U}},\,\text{U},\,\text{U})$ sur un ensemble $\text{U}$ avec son graphe $\Gamma_{\text{U}}\in\mathfrak{P}(\text{U}\times\text{U})$. C'est ainsi que\[\mathrm{pr}_1\,\Gamma_{\text{U}}=\mathrm{pr}_2\,\text{O}_{\text{U}}=\mathrm{pr}_3\,\text{O}_{\text{U}}=\text{U}\] En effet, par définition d'une correspondance (Cf. E II.10), l'on a $\mathrm{pr}_1\,\Gamma_{\text{U}}\subset\text{U}$, alors que, réciproquement, l'on a\[(\forall\,x)\left(x\in\text{U}\Rightarrow(x,\,x)\in\Gamma_{\text{U}}\Rightarrow{x}\in\mathrm{pr}_1\,\Gamma_{\text{U}}=\MySet{u}{u\in\text{U}\text{ et }(\exists\,v)(u,\,v)\in\Gamma_{\text{U}}}\right)\]Cela dit, précisons à présent quelques points. En vertu de E IV.4, considérons un ensemble $\text{V}$ considéré comme l'unique ensemble de base de l'espèce de structure de bon ordre $\Sigma_{\text{V}}$ sur $\text{V}$. La caractérisation typique correspondante est $s\in\mathfrak{P}(\text{V}\times\text{V})$, où $s$ vérifie l'axiome\[\begin{gather*}s\circ{s}=s\mbox{ et }s\cap\overset{-1}{s}=\Delta_{\text{V}}\mbox{ et }\\(\forall\,{\bf x})\left({\bf x}\in\mathfrak{P}(\text{V})-\{\emptyset\}\Rightarrow(\exists\,m)(m\in{{\bf x}}\mbox{ et }(\forall\,e)(e\in{\bf x}\Rightarrow(m,\,e)\in{s}))\right)\end{gather*}\mbox{, avec }\Delta_{\text{V}}=\MySet{(x,\,x)}{x\in\text{V}}\]Or; comme l'on a clairement\[\left(\begin{gather*}s\in\mathfrak{P}(\text{V}\times\text{V})\mbox{ et }s\circ{s}=s\mbox{ et }s\cap\overset{-1}{s}=\Delta_{\text{V}}\mbox{ et }\\(\forall\,{\bf x})\left({\bf x}\in\mathfrak{P}(\text{V})-\{\emptyset\}\Rightarrow(\exists\,m)(m\in{{\bf x}}\mbox{ et }(\forall\,e)(e\in{\bf x}\Rightarrow(m,\,e)\in{s}))\right)\end{gather*}\right)\Longrightarrow{s\in\mathfrak{P}(\text{V}\times\text{V})}\]la relation\[\begin{gather*}s\in\mathfrak{P}(\text{V}\times\text{V})\mbox{ et }s\circ{s}=s\mbox{ et }s\cap\overset{-1}{s}=\Delta_{\text{V}}\mbox{ et }\\(\forall\,{\bf x})\left({\bf x}\in\mathfrak{P}(\text{V})-\{\emptyset\}\Rightarrow(\exists\,m)(m\in{{\bf x}}\mbox{ et }(\forall\,e)(e\in{\bf x}\Rightarrow(m,\,e)\in{s}))\right)\end{gather*}\] est alors collectivisante en la lettre $s$, d'après le critère C52 (E II.5). Ainsi\[\mathfrak{S}(\text{V})=\MySet{s}{\begin{gather*}s\in\mathfrak{P}(\text{V}\times\text{V})\mbox{ et }s\circ{s}=s\mbox{ et }s\cap\overset{-1}{s}=\Delta_{\text{V}}\mbox{ et }\\(\forall\,{\bf x})\left({\bf x}\in\mathfrak{P}(\text{V})-\{\emptyset\}\Rightarrow(\exists\,m)(m\in{{\bf x}}\mbox{ et }(\forall\,e)(e\in{\bf x}\Rightarrow(m,\,e)\in{s}))\right)\end{gather*}}\]est-il l'ensemble des structures d'espèce $\Sigma_{\text{V}}$ sur $\text{V}$. L'ensemble $\mathfrak{S}(\text{V})$ ne peut pas être vide en vertu du théorème de Zermelo (E III.20).

A présent, considérons la relation $\mbox{Is}(u,\,v)$ en les lettres distinctes $u$ et $v$ définie par (Cf. exo. 13)a), E III.76, adapté ici)\[(\exists\,\text{E})(\exists\,\text{F})\left(\begin{gather*}(u,\,v)\in\mathfrak{S}(\text{E})\times\mathfrak{S}(\text{F})\\\mbox{et}\\(\exists\,f)(\exists\,\Gamma)\Big(f=(\Gamma,\,\text{E},\,\text{F})\text{ et }\Gamma\in\mathfrak{P}\left(\text{E}\times\text{F}\right)\\\mbox{et }\\(\forall\,x)(\forall\,a)(\forall\,b)\left(\left((x,\,a)\in\Gamma\text{ et }(x,\,b)\in\Gamma\right)\Rightarrow(a=b)\right)\text{ et }(\forall\,x)(x\in\text{E}\Rightarrow(\exists\,y)((x,\,y)\in\Gamma))\\\mbox{et}\\(\forall\,x)(\forall\,y)\left((x,\,y)\in(\text{E}\times\text{E})\setminus\Delta_{\text{E}}\Rightarrow(\Gamma(x),\,\Gamma(y))\in(\text{F}\times\text{F})\setminus\Delta_{\text{F}}\right)\text{ et }(\forall\,y)(y\in\text{F}\Rightarrow(\exists\,x)((x,\,y)\in\Gamma))\\\mbox{et}\\(\forall\,x)(\forall\,y)\left((x,\,y)\in{u}\Leftrightarrow(\Gamma(x),\,\Gamma(y))\in{v}\right)\Big)\end{gather*}\right)\]
Pour terminer, venons-en à notre énoncé. Par hypothèse, l'on sait que $\alpha$ est un ordinal. Il existe donc un bon ordre $\Gamma$, sur l'ensemble $\text{pr}_1\,\Gamma$ nécessairement, tel que\[\alpha=\tau_{_\Delta}\left(\mbox{Is}(\Gamma,\,\Delta)\right)\]Remarquons alors que toute partie $\text{P}$ de $\text{pr}_1\,\alpha$ est bien ordonnée par $\alpha\cap(\text{P}\times\text{P})$ et qu'en vertu du corollaire 3 (E III.22), $\text{P}$ est isomorphe à un segment de $\text{pr}_1\,\alpha$ ; puis que toute partie $\omega$ de $\alpha$ est un bon ordre sur $\text{pr}_1\,\omega$ qui est isomorphe à un segment de $\text{pr}_1\,\alpha$ (en vertu du même corollaire !). Il s'ensuit alors que\[\xi\text{ est un ordinal et }\xi\leqslant\alpha\]est (à isomorphisme près) équivalente à\[(\exists\,\Gamma')\left(\xi=\tau_{_\Delta}\left(\mbox{Is}(\Gamma',\,\Delta)\right)\text{ et }\Gamma'\in\mathfrak{P}(\alpha)\text{ et }(\forall\,(x,\,y))\left(\left(\left((x,\,y)\in\text{pr}_1\,\Gamma'\times\text{pr}_1\,\alpha\right)\text{ et }y\leqslant{x}\right)\Rightarrow{y\in\text{pr}_1\,\Gamma'}\right)\right)\]qui est bien collectivisante en la lettre $\xi$, puisque visiblement cette relation entraîne que\[(\exists\,\Gamma')\left(\xi=\tau_{_\Delta}\left(\mbox{Is}(\Gamma',\,\Delta)\right)\text{ et }\Gamma'\in\mathfrak{P}(\alpha)\right)\]relation collectivisante en la lettre $\xi$ en vertu du critère C53 (E II.5).

Bien cordialement,

Thierry

0ka

@Thierry POMA : attention il n'est pas vrai que "toute partie $\omega$ de $\alpha$ est un bon ordre sur $pr_1 \omega $"

Thierry Poma

Bonjour 0ka,

De mon boulot et très très rapidement : En effet, tu as entièrement raison et il n'est pas très difficile de trouver un contre exemple. Je n'ai pour l'instant pas trop le temps d'y réfléchir ; peut-être quelque chose comme ceci à la place :

puis que toute partie $\omega$ de $\alpha$ est telle que $\alpha\cap\left(\text{pr}_1\,\omega\times\text{pr}_1\,\omega\right)$ est un bon ordre sur $\text{pr}_1\,\omega$ qui est isomorphe à un segment de $\text{pr}_1\,\alpha$ (en vertu du même corollaire !).

Précision : Après avoir rédigé ce qui précède, je me suis rendu compte que la question b) de l'exo 14 permet de donner une caractérisation plus simple de la relation collectivisante qui nous concerne ici. Je laisse l’initiateur y réfléchir. Je travaille beaucoup et j'ai des révisions pour le Capes ; donc Bourbaki est pour l'instant le dernier de mes soucis (même si je suis un passionné de Bourbaki !).

Bien cordialement,

Thierry

christophe c

"même si je suis un passionné de Bourbaki": tu n'avais pas besoin de le préciser :-D Il est difficile de ne pas le voir!

christophe c

HS ON rapide

Thierry a écrit:

Je travaille beaucoup et j'ai des révisions pour le Capes [....] je suis un passionné de Bourbaki

Fais attention quand-même, il y a déjà plus de 10ans qu'il n'y a plus de maths au CAPES dit de maths et les "bourbakistes" y sont chassés sans ménagement. Tu fais un grand écart.

A mon sens, au vu de tes contributions, tu devrais plutôt te présenter à l'agreg externe (ils reçoivent tout le monde maintenant), car au moins ta rigueur y serait positivement (même s'ils sont un peu pédagogistes aussi par snobisme) reconnue et remerciée. Bon, mais je ne te faisais cette remarque que parce que tu l'as introduite et parce qu'elle peut être utile à bien d'autres gens (on a du mal à convaincre les gens d'aller à l'externe, ils ont du mal à croire au phénomène, par exemple l'an dernier, un gars sans base maths (venant de la biologie) a été reçu, mais avant qu'il y aille dans la discussion de bar qu'on avait, il n'y croyait qu'à peine, il trouvait ça trop gros, il a juste cliqué sur s'inscrire pour rigoler. Je croule sous les exemples de ce genre, sauf quand je n'arrive pas à convaincre les gens de s'inscrire ou qu'ils n'ont pas les droits admin)

HS OFF

pldx1

Le message de Thierry Poma est merdifié par l'intrusion d'un smiley. Une fois l'espace finne déplacée de l'autre côté du semi-colon, la digestion se passe mieux, et l'on peut alors lire :

Thierry Poma a dit :

Rappelons les notations: \[\text{O}(u)=\MySet{s}{\begin{gather*}s\in\mathfrak{P}(u\times{u})\mbox{ et }s\circ{s}=s\mbox{ et }s\cap\overset{-1}{s}=\Delta_u\mbox{ et }\\(\forall\,{\bf x})\left({\bf x}\in\mathfrak{P}(u)-\{\emptyset\}\Rightarrow(\exists\,m)(m\in{u}\mbox{ et }(\forall\,e)(e\in{\bf x}\Rightarrow(m,\,e)\in{s}))\right)\end{gather*}}\]avec\[\Delta_u=\MySet{(x,\,x)}{x\in{u}}\]

[Pierre : remonter une discussion âgée de cinq ans pour un problème $\LaTeX$ dû au changement de forum !
Il aurait mieux valu signaler le problème aux modérateurs !
Je viens de corriger les messages incriminés. AD]