Abscisse curviligne/changement de paramètre

clemclem

Bonjour,

Voici mon problème. Si je me donne une courbe paramétrée $t\mapsto M(t)$, je sais qu'une abscisse curviligne $s$ vérifie $s'(t) = \| M(t) \|$. De plus, si on a une courbe paramétrée par abscisse curviligne $u \mapsto M(u)$ alors la courbure au point de paramètre $u$ est donnée par la relation
$ \vec{T}'(u) = \gamma(u) \vec{N}(u)$
où $(M(u), \vec{T}(u), \vec{N}(u))$ est le repère de Frénet au point de paramètre $u$.

Je vois dans beaucoup de cours la formule suivante $$\frac{d \vec{T}}{d t} = \frac{d \vec{T}}{d s} \frac{d s}{d t}.
$$ Je ne comprends pas cette formule. En quels points sont calculées ces dérivées ? Comment obtient-on cette relation ?

gerard0

Bonjour.

C'est la formule habituelle de dérivation d'une fonction composée, s étant une fonction de t.
"En quels points sont calculés ces dérivées ?" à priori, pour des valeurs de t qui sont dans le domaine de définition.

Cordialement.

pappus

Bonsoir
Soit la fonction vectorielle $s\mapsto V(s)$ définie sur un intervalle $I$ et $s=\varphi(t)$ un changement de paramètre.
On considère la fonction vectorielle: $W=V\circ \varphi$
D'après le théorème de dérivation des fonctions composées:
$W'(t)= \varphi'(t)V'(\varphi(t))$
Les physiciens et peut-être des mathématiciens écrivent cette relation: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{ds}\dfrac{ds}{dt}$.
C'était avant la révolution bourbakiste.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Chaurien

Jean Frédéric Frenet (1816-1900)

Chaurien

La dérivée $\dfrac{dV}{dt}$ est calculée en $t$ et la dérivée $\dfrac{dV}{ds}$ est calculée en $s= \varphi(t)$, selon la formulation de pappus.
Prière d'ôter l'accent du patronyme de Frenet.
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Frenet.html