Montrer que p et d sont équivalentes

Harastieu

Bonsoir,

Je viens vers vous car je bloque totalement sur la question 3, car j'ai beau retourner le problème dans tous les sens, je n'y arrive pas, le reste des questions pas de problème...

Des idées ?

Cordialement,

Harastieu

(désolé pour la pièce jointe mais je n'ai pas accès à un ordinateur donc pour tout écrire en Latex, c'est assez long sur téléphone)

Tryss

Considère une suite $(x_n)$ qui converge vers $a$ pour $d$.

Est-ce que tu peux montrer que :
1) quelque soit $C$, il existe $n_0$ tel que $\rho(a,x_{n_0}) > C d(a,x_{n_0})$?
1) quelque soit $C'$, il existe $n_0$ tel que $d(b,x_{n_0}) > C' \rho(b,x_{n_0})$?

Blueberry

@Tryss Attention à ne pas confondre distances équivalentes et distances uniformément équivalentes.

@Harastieu
Tu peux déjà envisager le cas où $a$ ou bien $b$ n'est pas isolé dans $(E, d)$. Autrement dit, il y aurait dans ce cas par exemple une suite $(u_n)$ de termes tous différents de $a$ et telle que $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} d(u_n,a)=0$. Dans ce cas on peut assez vite répondre à 3.

Après il faut traiter le cas où $a$ et $b$ sont isolés dans $(E, d)$.

Harastieu

@Tryss Oui en effet je peut montrer ça ! Merci de m'avoir débloqué !

@Blueberry Merci, je vais étudier ça..

Cordialement,

Harastieu