concavité stricte du logarithme

Harastieu

Bonjour à tous,

Pourriez vous me proposer une démonstration de la question numéro 1 ?

Bon week-end à vous tous et merci d'avance !

Bien cordialement,

Harastieu

Dom

Si on a le droit à la dérivation et à utiliser des résultats de convexité liés à la dérivée seconde, c'est assez simple.

L'assertion me semble être la concavité (non nécessairement stricte) cependant, non ?

Harastieu

Effectivement la dérivée seconde du logarithme me donnerait $\frac{-1}{x^2}$ ce qui prouverait la concavité, mais je pense qu'il faut utiliser le résultat donné dans l'énoncé et je ne sais pas comment le démontrer.

L'assertion par contre précise bien une concavité stricte.

Cordialement,
Harastieu

Dom

Alors il faut peut-être travailler "à la main".
Choisir deux points de la courbe et démontrer que la corde est en dessous (c'est la définition de la concavité "sans outil").
C'est ce que dit cette inégalité : l'image d'un segment est au dessus du segment joignant les images.


Quant à l'assertion, je parle de ce qui est quantifié : on devrait au moins préciser $\alpha \neq \beta$ d'après moi, mais c'est assez accessoire. Aussi exclure les cas $t=0$ et $t=1$. Et écrire une inégalité stricte.
Bon, c'est écrit explicitement dans la question, donc je veux bien ne pas en faire un fromage ;-)

Blueberry

Effectivement à ce moment là, on fixe $\beta >0$, $t \in ]0;1]$ et on compare les deux fonctions définies sur $]0 ; + \infty[$: $x \mapsto \log (tx+(1-t)\beta)$ et $x \mapsto t \log x + (1-t)\log \beta$.
Elles coïncident en $\beta$, ils suffit donc de comparer leurs dérivées, ce qui est immédiat.

skilveg

Je ne pense pas que l'on puisse te répondre sans que tu nous dises ce que tu as vu en cours sur ce sujet. Comment as-tu défini la concavité ? sous quelle(s) formulation(s) ? Quels moyens as-tu vus pour établir une concavité ? (Et accessoirement, qu'entends-tu par "le résultat donné dans l'énoncé" ?)

Harastieu

Bonjour,

Je n'ai vu pour l'instant que les notions de base sur la convexité et la Concavité, c'est à dire, étudier ces notions en regardant le signe de la dérivé seconde etc..

Quand je dit " le résultat donné dans l'énoncé " je cherche en faite à démontrer l'inégalité proposé dans l'énoncé

Cordialement,

Harastieu

skilveg

"les notions de base", "etc.." : peux-tu être plus précis(e) ? quelles interprétations as-tu vues en termes de cordes, de tangentes ? avez-vous parlé de barycentres ?

Comme disait Atiyah : "What is a solution? It entirely depends on the customer." Il faut savoir quels sont les outils à disposition avant de pouvoir dire ce qui peut être considéré comme une réponse valide.

Une technique un peu passe-partout pour établir une inégalité de la forme que tu demandes consiste à étudier, en tant que fonction, la différence des deux membres. Ici, il peut être judicieux de prendre la différence des deux membres, de la dériver deux fois, et de voir ce qui se passe.

Le Lui ou un Autre

Le but de l'exercice semble être la démonstration des inégalités de Hölder et de Minkowski, pas leur utilisation.
Puisque tu indiques avoir dans ton cours le lien entre la convexité et la dérivée seconde, il n'y a pas à chercher plus loin... Tu sauras sans doute démontrer les inégalités de Hölder et de Minkowski une fois l'exercice 1 entièrement fini.

Harastieu

Il me suffit donc d'étudier la dérivée seconde de la différence des deux fonctions et si je trouve quelque chose de négatif, cela voudra dire que la fonction est concave strictement ?

Et je dérive bien $log(x)$ par $log'(x)=\frac{ln(x)}{ln(10)}$ ?

skilveg

Je crois que tu mélanges deux choses : "la différence des deux termes" et "la fonction" (de départ, à savoir $\log$).

Réponse : essaie, et tu verras ! Ce n'est pas parce que quelqu'un te dit que cela peut marcher qu'il ne faut pas essayer de le faire (:P)

Harastieu

Et bien de ce que j'ai compris, il faut que je dérive deux fois ceci:

$\log(t\alpha+(1-t)\beta)-t\log(\alpha)+(1-t)\log(\beta)$

N'est ce pas ?

Ps: désolé d'être un peu long à la détente c'est un de mes défauts et je vous remercie d'être patient avec moi

skilveg

Je n'ai pas écrit qu'il fallait que tu le fasses, mais que si tu essaie de le faire et que tu en déduis des propriétés de la quantité étudiée (comme son signe), cela pouvait être un progrès vers une réponse à la question initiale.

J'ai aussi écrit que si tu n'essayes pas, tu ne sauras jamais si cela marche !

(Aussi : il semble y avoir une erreur de signe ou de parenthésage dans ta dernière expression.)

Harastieu

Je vais essayer pas de soucis
Oui j'ai mal recopié ce qu'il y avait sur ma feuille, il y a évidemment un $-$ et non un $+$ devant $(1-t)$

Je dérive bien $\log(x)$ comme ceci: $\log'(x)= \frac{ln(x)}{ln(10)}$ ?

skilveg

Toujours la même question : quelle est ta définition de $\log$ ?

Harastieu

Pardon pour le $\log$ je me suis emmêlé les pinceaux !

Sinon en dérivant deux fois mon expression je trouve ceci: $-\frac{(\alpha-\beta)^2}{(\alpha*t+\beta*(-t)+\beta)^2}$ qui est donc négatif ?

skilveg

Cela fait deux questions que je pose et auxquelles tu ne réponds pas. À mon tour !

Harastieu

Pour ce qui est du log j'étais parti sur le log de la base 10, c'est pour ça que je souhaitais faire cette dérivé la

Sinon j'ai vu qu'une fonction est convexe sur un intervalle I si elle est au dessus de chacune de ses tangentes
Et qu'une fonction est dite concave sur un intervalle I si elle est en dessous de chacune de ses tangentes ou bien si la fonction g=-f est convexe.

Je n'ai pas parlé de barycentre par contre..

Harastieu

Et j'ai donc trouvé un résultat négatif, est ce que ça implique que la fonction est concave ?

skilveg

Quelle fonction ?

Harastieu

Et bien j'ai trouvé un résultat négatif en dérivant deux fois la différence, est-ce que cela voudrait dire que la fonction logarithme est concave ?

Je me demande aussi s'il ne faudrait pas démontrer l'expression donnée dans l'énoncé, je vous avoue que je bloque totalement..

skilveg

Comme tu le disais ce matin, tu sais déjà que la fonction logarithme est concave, puisque sa dérivée seconde est négative. Ici, ce que l'on essaie de prouver, c'est l'inégalité de l'énoncé, dont (apparemment) tu n'as pas vu en cours qu'elle était une conséquence de la concavité du log.

En dérivant deux fois la différence, tu as trouvé un résultat négatif. Cela veut dire que la différence est concave. Ici, ce que l'on essaie de prouver, c'est que la différence est négative. Courage, tu y es presque !

Harastieu

D'accord je comprends ! Et non en effet nous n'avons pas vu cette inégalité.

Maintenant que j'ai prouvé que la différence était concave il faudrait donc que je dérive encore deux fois et montrer que c'est négatif, et de la je pourrai conclure qu'on a bien l'inégalité de l'énoncé c'est ça ?

Merci beaucoup d'avance pour toute votre aide !

Dom

Petite remarque : étonnant de lire "l'inégalité conséquence de la concavité" dans l'absolu puisque justement, pour moi, il s'agit de la définition.
Mais dans ce contexte, je ne jette pas la pierre à @skilveg (;-)) puisque la lecture du fil permet de comprendre cette "allocution".

skilveg

@Dom : ben oui, c'est bien là le problème, il semble que Harastieu ait seulement défini la convexité en termes de dérivée seconde et de position relative à une tangente, et pas en termes de cordes ou de barycentres. D'où la nécessité de traiter la question "à la main"...

Harastieu

Et encore je vous avoue que pour connaître la convexité en termes de dérivées j'ai dû demander en fin de cours, mais les autres étudiants n'ont aucune notions sur la convexité mais doivent quand même résoudre l'exercice, donc je rame,
rame...

skilveg

@Harastieu : non non ! Tu as montré que la différence est concave, tu n'as plus vraiment besoin de dériver. Tu peux par exemple utiliser le fait que la différence est toujours inférieure à son approximante affine en $0$, et que celle-ci est négative sur $[0,1]$, ce qui va faire intervenir l'inégalité $\ln(u)\leqslant u-1$.

Tu peux aussi (cela revient un peu au même) voir que ce que tu as montré (signe de la dérivée seconde de la différence), c'est équivalent au fait que le membre de gauche est une fonction concave de $t$. Du coup, elle est inférieure à son approximante affine en $0$, et montrer que cette approximante affine est inférieure sur $[0,1]$ au membre de droite.

Tu peux aussi (dans un esprit un peu différent) reprendre la méthode de Blueberry, un peu plus astucieuse et aussi sans doute un peu plus rapide.

skilveg

Pour ton dernier message : en L3 (si je lis bien), ce n'est pas anormal que vous demander un peu d'autonomie. Tous les moyens sont bons pour trouver des infos... ce forum en fait partie :-)

Dom

Un bon exercice (si on a du temps) est donc de démontrer les théorèmes classiques sur la convexité.
Des leçons d'agrégation existent un peu partout.

Harastieu

Bonjour,

Je reviens vers vous, car j'ai essayé la méthode de Blueberry,

Je fixe deux fonctions définie sur $]0;+\infty[$: $f(x) : log(tx+(1-t)\beta)$ et $g(x) : tlogx+(1-t)log\beta$

Le problème c'est que lorsque je compare leurs dérivées :

on trouve en dérivant : $f'(x)=\frac{t}{-t\beta+\beta+tx}$ et $g'(x)=\frac{t}{x}$

On a alors l'inverse de ce qu'on veut trouver.. car j'arrive pas à montrer que $f'(x)>g'(x)$

Quelqu'un aurait une explication ?

Harastieu

Personne n'a d'explication ?

Blueberry

Pardon je viens de découvrir ton message.
Il faut comparer $tx+(1-t)\beta$ et $x$ donc :

- si $\beta >x$, $tx+(1-t)\beta$ est un nombre de l'intervalle $]x ; \beta[$ et donc $x<tx+(1-t)\beta$ d'où l'inégalité $f'(x)<g'(x)$ quand on passe à l'inverse;

- si $\beta <x$, $tx+(1-t)\beta$ est un nombre de l'intervalle $]\beta ; x[$ et donc $x>tx+(1-t)\beta$ d'où l'inégalité $f'(x)>g'(x)$ quand on passe à l'inverse.


Bilan:
$f(\beta)=g(\beta)$ et $f'(x)>g'(x)$ si $x>\beta$ donc $f(x)>g(x)$ si $x>\beta$;

$f(\beta)=g(\beta)$ et $f'(x)<g'(x)$ si $x<\beta$ donc $f(x)>g(x)$ si $x<\beta$.

Blueberry

En fait on fait ceci:

on étudie la fonction $\phi: x \mapsto \log (tx+(1-t)\beta)-\left (\log x + (1-t)\log \beta \right )$

On a $\phi(\beta)=0$ et par étude de sa dérivée, $\phi$ est strictement décroissante sur $]0 ; \beta]$ et strictement croissante sur $[\beta;+\infty[$.

Donc pour $x \ne \beta$, $\phi(x)>0$, ce que l'on voulait.

Harastieu

D'accord j'ai compris la démarche, par contre d’où viennent les intervalles ($]x;\beta[$ et $]\beta;x[$) ?

Merci beaucoup, je commençais à désespérer pour cette question ! J'étais passé à la suite pour tout dire...

Encore merci et bonne soirée !

Blueberry

J'étudie le signe de $\phi '(x)$ sur $]0 ; +\infty[$ et pour ce faire je dois regarder le nombre $tx+(1-t)\beta$ qui est entre $x$ et $\beta$. Je distingue le cas où $x<\beta$ auquel cas $tx+(1-t)\beta$ est un nombre de l'intervalle $ ]x ; \beta[$ du cas où $x>\beta$ auquel cas $tx+(1-t)\beta$ est un nombre de l'intervalle $ ]\beta ;x[$.