Projection courbe espace

Krokop

Bonsoir,
Soit $I$ un intervalle de $\Bbb{R}$
On se donne une courbe paramétrée $\gamma$ dans $\Bbb{R}^3$ muni de son produit scalaire "canonique", de classe $C^k$ avec $k=3$ au moins, paramétrée par longueur d'arc. Je suppose que la courbure n'est jamais nulle, et que $\forall t\in I,\ \gamma(t)\ne 0.$

Soient $t,n$ le vecteur tangent et le vecteur normal tel que si on définit $b=t\wedge n$ alors $(\gamma(s),t,n,t)$ soit une base (orthonormale) directe.

On arrive facilement au fait que $\dfrac{db(s)}{ds}=-\tau n(s)$. On s'aperçoit que ce coefficient mesure la "variation" du vecteur $b,$ et que lemme: $\tau$ est nulle si et seulement si la courbe est plane.

On peut ensuite trouver les formules de Serret-Frenet comme en dimension $2.$ Ensuite quand je regarde la courbe, je vois que je peux projeter la courbe selon trois plans. Je m'intéresse aux équations de la courbe projetée dans chacun des trois plans, que je note $P_1,P_2,P_3.$

Pour ce faire, je suppose que la courbe passe par l'origine $O$ et que je prends un point $M(x,y,z)$ "proche", en notant $s$ la longueur d'arc entre $M$ et $O$ on a (Taylor) : $$
\gamma(s)=\gamma(0)+s\gamma'(0)+\frac{s^2}{2}\gamma''(0)+\frac{s^3}{3!}\gamma'''(0)+o(s^3).
$$ On trouve alors:
\begin{align*}
x&=s-\frac{\mathcal{K}^2}{6}s^2+o(s^3)\\
y&=\frac{\mathcal{K}}{2}s^2+\frac{\mathcal{K}'}{6}s^3+o(s^3)\\
z&=\frac{\mathcal{K}\tau}{6}s^3+o(s^3)
\end{align*}
Et là... Je ne sais pas trop comment obtenir "officiellement" les équations, intuitivement (dessins) je dirais qu'au "premier ordre" pour $x$ on va avoir
$\displaystyle x=s,\ y=\frac{\mathcal{K}}{2}s^2,\ z=\frac{\mathcal{K}\tau}{6}s^3.$

Une idée ?
Merci d'avance.

pappus

Mon cher Krokop
Il suffit de connaître la théorie des développements limités et ses formules de Serret-Frenet.
Amicalement
[small]p[/small]appus

rakam

Bonjour !
Il me semble que tu as :
$\gamma'(0)=t$
$\gamma''(0)=K n$
$\gamma'''(0)=\lambda t+\mu n+K\tau b$
ce qui te donne pour $\gamma(s)=x t+y n+z b$ les relations voulues en utilisant la formule de Taylor rappelée.

Ces relations permettent d'obtenir courbure et torsion par calcul de limites (celles de $\dfrac{x^2}{2y}$ et $\dfrac{3z}{xy}$) quand on travaille dans le repère de Serret-Frenet en un point.

Krokop

Bonjour,

Je me suis mal exprimé, les équations avec les petits «o» ne posent pas de problème (le «on» devrait être un «je»).

Mon problème c'est pour obtenir les équations de la courbe projetée sur chacun des plans. projeté

Désolé pour ce malentendu

rakam

Bonsoir !
Soyons plus clair !
Tu as une courbe! Comment est-elle donnée ? Coordonnées d'un point en fonction de l'abscisse curviligne dans un repère affine fixé ?

Tu veux projeter sur des plans $P_k$ ! Lesquels ? Les plans de coordonnées ou autre chose ?

Puisque tu as $\vec{OM}=x(s)\vec{\imath}+y(s)\vec{\jmath}+z(s)\vec k$ la projection sur le plan $xOy$ est l'ensemble des points $P$ vérifiant la relation $\vec{OP}=x(s)\vec{\imath}+y(s)\vec{\jmath}$ etc...

Je croyais que tu voulais projeter sur les plans de repère de Frenet !

Krokop

Désolé rakam je n'ai pas vu ta réponse (EDIT: en fait j'ai vu que tu avais commencé par partir sur la même direction que Pappus donc je n'ai pas lu la fin) après Pappus, oui je veux projeter sur les plans du repère de Frenet.

Une fois que j'ai \begin{align*}
x&=s-\frac{\mathcal{K}^2}{6}s^2+o(s^3)\\
y&=\frac{\mathcal{K}}{2}s^2+\frac{\mathcal{K}'}{6}s^3+o(s^3)\\
z&=\frac{\mathcal{K}\tau}{6}s^3+o(s^3)
\end{align*} Je dois pouvoir obtenir mes équations sur les plans du repère de Frenet, tu me proposes de faire un calcul de limites.

Donc quand $s\to 0$ on a $x^2=\frac{2y}{\mathcal{K}}$ et $x^3=\frac{6z}{\mathcal{K}\tau}.$ Dit comme ça c'est trivial mais géométriquement j'ai l'impression qu'on dit que quand le vecteur $OM$ est colinéaire à $t$ (donc en faisant une approximation au premier ordre $x=s$) alors pour $y$ on est au second ordre et pour $z$ au troisième, pourquoi ?

Désolé c'est sûrement très flou.