convergence faible

Bonjour.

Soit $(e_n)_{n\in\N}$ une base orthonormée de $\big(L^2(\R), ||_2\big)$ où $|f|^2_{2}=<f,f>=\int_{\R} f(x)\overline{f}(x)dx$.
Soit $(u_j)_j$ une suite faiblement convergente avec $||u_j||=1$ on suppose aussi qu il n ' y a aucune relation entre $u_j$ et $e_n$

Donc pour tout $n$, on a $<u_j,e_n>\to 0$ quand $n$ tend vers $\infty$.
D'une part $u_j=\sum_n <u_j,e_n> e_n$ donc $$|u_j|^2=\sum_n |<u_j,e_n> |^2=1.
$$ Maintenant je prends la limite de deux membres, j'obtiens :$$ \sum_n 0=1.
$$ Où est le problème.
Merci.

Réponses

  • Si tu écris les choses proprement, tu as : $$\| u_j \|^2 = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{| \langle u_j, e_n \rangle |^2}_{c_{n,j}} = 1
    $$ Donc pour chaque $j$, $\sum_n c_{n,j} = 1$
    Et pour chaque $n$, $\lim_j c_{n,j} = 0$

    Où est le problème ?

    Par exemple, $c_{n,j} = \frac{1}{j^n}\frac{j-1}{j}$ vérifie bien ces propriétés
  • Voilà mon problème.

    Si $u_j=\sum_n a_{j,n}=1$ avec $a_{j,n}>0$ pour tout $j,n$ et $a_{j,n}\to0$ quand $j$ tend vers $\infty$.

    je fais tendre $j$ vers $\infty$ dans $\sum_n a_{j,n}=1$, j'obtiens $ 0=1$. Non?
  • Non. Je t'ai d'ailleurs donné un exemple explicite ou ça n'est pas le cas.

    Il n'y a aucune raison pour que $$\lim_j \lim_n S_{j,n} = \lim_n \lim_j S_{j,n} $$
  • Je pense qu il y a un cas où on a l'égalité, (convergence uniforme, si je me rappelle bien).
  • J'ai la situation suivante:

    $$u_n=\sum_{i,j\in\N}\Big| a^n_{(i,j)}(i-j-3)\Big|^2$$ et $a^n_{(i,j)}$ est une suite

    Si $u_n\to 0$ qaund $n$ tend vers $\infty$ peut on dire quelque chose.?
  • ta suite $c_{n,j}$ verifie bien la permutation de la somme et la limite
  • Bonjour.

    Soit $(a_{n,j})_{n,j\in\N}$ une suite de nombres positifs. On suppose que la série $\sum_{j} a_{n,j}$ est convergente et $\lim_{n \to\infty} a_{n,j}$ existe pour tout $j$.
    A-t-on : $$ \lim_{n \to\infty} \sum_{j} a_{n,j} = \sum_j \lim_{n \to\infty} \ a_{n,j} .
    $$ (À peu près théorème de Tonnelli)
    Merci infiniment.

    [Merci de rester dans la discussion que tu avais ouverte. Poirot]
  • Non, tu n'as pas une double série tu ne peux pas appliquer Tonelli sans hypothèse supplémentaire.
  • Merci bien. En fait J'ai la situation suivante:

    $$u_n=\sum_{i,j\in\N}\Big| a^n_{i,j}(i-j-3)\Big|^2$$ et $a^n_{i,j}$ est une suite vérifiant $\sum_{i,j\in\N}\Big| a^n_{i,j}\Big|^2=1$ pour tout $n\in \N$.

    Si $u_n\to 0$ qaund $n$ tend vers $\infty$ peut on dire quelque chose.?
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