Une histoire idéale?

jaccuzzi

Bonjour a tous!

Voici mon problème que j'espère présenter clairement (pour une fois !). Soient 7 variables $U_1,U_2,U_3,S_1,S_2,T_1,T_2$ et 6 polynômes définis sur ces variables.


- $P_1(U_1,U_2,U_3,S_1,S_2,T_1,T_2)=U_1T_2S_1^2$

- $P_2(U_1,U_2,U_3,S_1,S_2,T_1,T_2)=(1-U_1)T_1S_1^2$

- $P_3(U_1,U_2,U_3,S_1,S_2,T_1,T_2)=U_2T_2S_1S_2$

- $P_4(U_1,U_2,U_3,S_1,S_2,T_1,T_2)=(1-U_2)T_1S_1S_2$

- $P_5(U_1,U_2,U_3,S_1,S_2,T_1,T_2)=U_3T_2S_2^2$

- $P_6(U_1,U_2,U_3,S_1,S_2,T_1,T_2)=(1-U_3)T_1S_2^2$


Je voulais savoir s'il existait un entier i>0 et deux polynômes multivariés $\phi_1,\phi_2$ tels que $\phi_1(P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6)$ soit non-nul et tel que $S_2^i\phi_1(P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6)=S_1^i\phi_2(P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6)$

Voilà, qu'en pensez vous?

Merci beaucoup.

GaBuZoMeu

En éliminant les $U$ et les $T$, on obtient l'idéal engendré par
$$S_2^2(P_2P_3 - P_1P_4) + S_1S_2(P_1P_6-P_2P_5)+ S_1^2(P_4P_5 - P_3P_6)\;.$$
$\dfrac{S_2}{S_1}$ me paraît mal barré pour avoir une puissance qui soit une fraction rationnelle en les $P$.

jaccuzzi

Merci beaucoup GaBuZoMeu (comme à chaque fois)

Juste quand tu dis mal barré...tu veux dire que non ou il serait peut etre interessant de tester ca avec Sage...

Tu dis "$S_2/S_1$ me paraît mal barré pour avoir une puissance qui soit une fraction rationnelle en les P". Que dois-je verifier concretement pour en avoir le coeur net ? En fait je ne vois pas que faire de ton ideal pour repondre à la question (desole pour mon niveau)!

Encore merci

jaccuzzi

Bonjour,

Je lis et relis le message de GaBuZoMeu...et je n'ai pas tout (pour ne pas dire rien) compris! Le polynome (qui engendre l'deal) qu'il me propose est nul....ca ne doit pas etre un hasard mais comment interpreter cela!

Merci a tous

GaBuZoMeu

Je vais présenter les choses un peu différemment, en espérant que tu comprennes mieux.

Tu considères les $P$ comme des variables, plus précisément tu associe à chaque $P_i$ une nouvelle variable $X_i$. Tu considères l'anneau de polynômes (à coefficients dans $\Q$, disons) en les indéterminées $S,T,U$ (7 variables) et $X$ (6 variables en plus), et tu formes l'idéal $I$ de cet anneau engendré par $X_1-P_1(S,T,U), \ldots, X_6-P_6(S,T,U)$ (6 polynômes en tout).

Maintenant tu élimines les variables $T,U$, c.-à-d. que tu intersectes l'idéal $I$ avec le sous-anneau $\Q[S_1,S_2,X_1,\ldots,X_6]$, et ce que tu trouves est l'idéal principal engendré par le polynôme
$$\Phi=S_2^2(X_2X_3 - X_1X_4) + S_1S_2(X_1X_6-X_2X_5)+ S_1^2(X_4X_5 - X_3X_6)\;.$$
C'est donc tout à fait normal que tu trouves $0$ quand tu remplaces dans ce polynôme $\Phi$ les $X_i$ par les $P_i(S,T,U)$.
Ce qu'il y a en plus, c'est que pour tout polynôme $\Psi(S_1,S_2,X_1,\ldots,X_6)$, on a $\Psi(S_1,S_2,P_1(S,T,U),\ldots,P_6(S,T,U))=0$ si et seulement si $\Psi$ est divisible par $\Phi$.
Il reste à voir que $\Phi$ ne divise aucun polynôme de la forme $S_1^i \Psi_1(X)-S_2^i\Psi_2(X)$, ce dont je suis convaincu sans argument probant pour le moment.

jaccuzzi

Super merci,

Je vais prendre un peu de temps pour comprendre ta réponse et en parallele finaliser un article de crypto (sur un cryptosysteme homomorphique) en considerant que ce resultat est vrai (tu en es convaincu et ca me conforte vraiment). Si ca t'interesse...
En tout cas, encore un grand merci!

GaBuZoMeu

Est-ce que tu connais le livre "Ideal, Varieties and Algorithms" de Cox, Little et O'Shea ? Sinon, sa lecture te serait sans doute utile.
Si je montre le résultat dont tu as besoin, j'aurai droit à un remerciement dans l'article ? :-D

jaccuzzi

evidemment...un grand merci a GaBuZoMeu...et dans l'ideal (pour moi), pourquoi pas une cosignature!

jaccuzzi

Je pense avoir montré le resultat (en utilisant les arguments de GaBuZoMeu) "à la main" pour $i<5$...
Sinon, dans le cas general, j'arrive a un probleme de resolution de systeme d'equations lineaire sur les polynomes...mais je sais pas si l'on peut transposer sur les polynomes ce que l'on a sur les reels

Alors voila

Soit $M$ une matrice carree (dimension $t$) de polynomes tel que les lignes sont lineairement independantes. On cherche un vecteur polynomes $x=(x_1,...,x_t)$ tel que $Mx=0$. Peut-on affirmer que la seule solution est $x=(0,...,0)$.

Merci a vous

GaBuZoMeu

Bon, ça marche. Il suffit de montrer que $\dfrac{X_2X_5-X_1X_6}{X_2X_3 - X_1X_4}$ et $\dfrac{X_3X_6-X_4X_5}{X_2X_3 - X_1X_4}$ sont algébriquement indépendants. Je détaille d'ici quelques instants.

GaBuZoMeu

Posons $F=\dfrac{X_2X_5-X_1X_6}{X_2X_3 - X_1X_4}$ et $G=\dfrac{X_3X_6-X_4X_5}{X_2X_3 - X_1X_4}$.

Il suffit de vérifier que, dans l'anneau de polynômes $\Q(X)[Y]$, $Y^2-FY-G$ ne peut pas diviser un polynôme de la forme $Y^i-H$ avec $H\in \Q(X)$ c.-à-d. que $Y^i$ n'est pas congru à un élément de $\Q(X)$ modulo $Y^2-FY-G$. Or, par division euclidienne, $Y^i$ (pour $i>0$) est congru modulo $Y^2-FY-G$ à un unique polynôme en $Y$ de degré $\leq 1$, de la forme $R_i(F,G) Y+ H_i(F,G)$ où $R_i$ et $H_i$ sont des polynômes à coefficients entiers avec $R_i$ non nul. Comme $F$ et $G$ sont algébriquement indépendants, $R_i(F,G)$ est un élément non nul de $\Q(X)$ et donc $Y^i$ n'est pas congru modulo $Y^2-FY-G$ à un élément de $\Q(X)$.

jaccuzzi

Ok super! Je vais debriefer tout ca...est ce que ca marcherait aussi dans $Z/pZ$?

GaBuZoMeu

Oui, en fait ça marche sur $\Z$.

jaccuzzi

Ok merci a toi! As tu recu mon message privé?

jaccuzzi

Pour etre sur d'avoir bien compris...
Grace au raisonnement basé sur l'ideal, on est sur, du coup qu'il existe 3 polynomes $\Phi_1,\Phi_2,\Phi_3$ tel que
$S_1^2\Phi_1(P_1,...,P_6)+S_1S_2\Phi_2(P_1,...,P_6)+S_2^2\Phi_1(P_1,...,P_6)=0$ non?

GaBuZoMeu

Non seulement on est sûr mais
- le logiciel de calcul formel calcule ce polynôme $\Phi$ de mon message ci-dessus,
- et il nous certifie qu'il engendre l'idéal des polynômes en $S_,S_2,X_1,\ldots X_6$ qui s'annulent quand on remplace les $X_i$ par les $P_i$.