Une autre mesure de Lebesgue ?

Bonjour à tous,
La construction classique de la mesure de Lebesgue passe par la construction de cette mesure extérieure:

$$\lambda^{*}\left(X\right)=\sup_{\epsilon>0}\inf\left\{ \sum_{n}\text{diam}\left(A_{n}\right)|\cup_{n}A_{n}\supset X\text{ et }\forall n,\text{diam}\left(A_{n}\right)<\epsilon\right\} $$

Je n'ai pas de problème à démontrer que c'est une mesure extérieure et qu'elle rend mesurable tous les boréliens et qu'elle fournit un ensemble de parties mesurables de $\R$ strictement plus gros que la tribu borélienne.

Par contre, si on s'intéresse à cette application:
$$\mu^{*}\left(X\right)=\inf\left\{ \sum_{n}\text{diam}\left(A_{n}\right)|\cup_{n}A_{n}\supset X\right\} $$

Existe t-il un borélien pour lequel $\mu^*$ et $\lambda^*$ diffèrent ?
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